"paradoxe"

[vuibert]

Une personne participe a un jeu televise dont le principe est le suivant. Le presentateur lui montre deux boites contenant chacune une certaine somme.
Tout ce qu'on sait c'est que l'une contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Puis, le presentateur choisit une boite et l'ouvre devant le joueur. Le joueur peut alors soit prendre la somme qu'il voit dans cette boite, ou decider plutot de prendre l'argent qui est dans l'autre boite (en aveugle).
Mettons que la boite ouverte contiennent 500 euros. Il y a deux cas : soit l'autre boite contient 250 soit elle contient 1000. Donc l'esperance de gain est de 1250/2 = 625 euros si le joueur decide de prendre l'autre boite. Comme 625>500, on voit que le joueur a toujours interet a choisir l'autre boite, quelle que soit la boite ouverte par le presentateur. C'est absurde. Ou est le probleme?

[leg]

bonjour, ta supposition donne trois dimentions au lieu de deux : soit 250et 500,ou 1000 et 500 ce n'est pas pour autant que l'esperance de gain est de 375 ou 750.il a donc soit 1 soit 2; il demande de mettre le contenu de la premiere boite dans la deusième et il prend celle ci ,puisque le reglement n'interdit pas cette action..!

[yat]

Bah avec les éléments qu'on a, je pense qu'effectivement, l'espérance de gain est bien de 625, si on considère tous les tirages comme équiprobables :
-Le choix entre le lot (250,500) et le lot (500,1000) : on ne sait pas combien il y a de lots au total, et quelles sont leur probabilités de tomber, mais il n'y a a priori aucune raison qu'un lot ait plus de chances de tomber qu'un autre. En tout cas avec l'énoncé du problème, on n'en sait rien, donc c'est bien du 1/2.
-Le choix entre la boite contenant les 500 euros et l'autre : là encore, rien ne permet de supposer que le choix de la boite n'est pas aléatoire, donc équiprobable.
On a donc quatre combinaisons équiprobables, et dans deux de ces quatre cas, on présente une boite contenant 500 euros au joueur. Pas de lézard, l'autre boite a bien une chance sur deux de contenir 1000 euros, et une chance sur deux de contenir 250 euros. L'espérance de gain est bien de 625 et il est statistiquement plus rentable d'ouvrir l'autre boite.

Si on entre un peu plus dans les rouages de ce jeu, et qu'on imagine que le choix du lot n'est pas équiprobable, il suffit que l'on ait deux fois plus de chances de tomber sur le lot (250,500) que sur le lot (500,1000). Dans ce cas, effectivement, si on a une boite avec 500 euros, il y a deux chances sur trois que l'autre contienne 250, et une chance sur trois que l'autre contienne 1000... ce qui retombe bien sur une espérance de gain de 500.

[vuibert]

Envoyé par yat

L'espérance de gain est bien de 625 et il est statistiquement plus rentable d'ouvrir l'autre boite.

Mais c'est quand meme bizarre, parce que si le joueur a toujours interet a prendre l'autre boite, il n'a meme pas besoin de voir son contenu pour decider. Donc le presentateur pourrait tout simplement designer une boite au hasard sans l'ouvrir, et le joueur gagnerait alors a prendre l'autre en moyenne. Ceci est absurde puisque le presentateur designe une des deux boites completement au hasard, et ne communique donc aucune information au joueur.

[yat]

Envoyé par vuibert

Mais c'est quand meme bizarre, parce que si le joueur a toujours interet a prendre l'autre boite, il n'a meme pas besoin de voir son contenu pour decider. Donc le presentateur pourrait tout simplement designer une boite au hasard sans l'ouvrir, et le joueur gagnerait alors a prendre l'autre en moyenne. Ceci est absurde puisque le presentateur designe une des deux boites completement au hasard, et ne communique donc aucune information au joueur.

C'est vrai que c'est un peu destabilisant, mais pourtant c'est bien le cas. Quel que soit le montant de la première boite, on a forcément intérêt à prendre l'autre. Cela bien entendu dans la mesure ou on n'a aucune information sur les lots possibles et sur leurs rapports de probabilité. C'est plutôt à ce niveau que se situe le paradoxe : pour commencer, je n'ai j'amais vu de jeu (télé ou autre) dans lequel la probabilité de tomber sur un gros lot était aussi petite que la probabilité de tomber sur un gros lot.
Et enfin, pour que tout ça reste effectivement équiprobable, il faut que pour tout montant possible, il existe bien pour chaque montant un lot qui le contient en tant que petit montant, et un lot qui le contient en tant que gros montant. Techniquement, ce n'est pas possible, il faut bien que les lots s'arrètent à un moment donné. Et dans ce cas, tout redevient cohérent, et il faut connaitre le montant de la première boite pour savoir quoi jouer.

Mais tel qu'il est présenté, il faudrait nécessairement que le jeu se passe autrement : On tire un montant au hasard, et ensuite seulement on choisit aléatoirement entre le double et la moitié pour l'autre boite. Quel que soit le montant obtenu, il est clair qu'on a une meilleure espérance de gain en prenant l'autre boite : c'est comme un quitte ou double, sauf que si on perd, on a quand même la moitié de la mise de départ.

[vuibert]

Envoyé par yat

Et enfin, pour que tout ça reste effectivement équiprobable, il faut que pour tout montant possible, il existe bien pour chaque montant un lot qui le contient en tant que petit montant, et un lot qui le contient en tant que gros montant. Techniquement, ce n'est pas possible, il faut bien que les lots s'arrètent à un moment donné. Et dans ce cas, tout redevient cohérent, et il faut connaitre le montant de la première boite pour savoir quoi jouer.

Oui, c'est plus ou moins ca la reponse. En fait l'enonce suppose que tous les montants sont equiprobables. Le probleme est qu'il n'y a aucune loi de probabilite sur R tel que tous les nombres soit equiprobables, parce que la fonction de densite serait constante et donc d'integrale infinie au lieu de 1.

[One Eye Jack]

Envoyé par vuibert

Une personne participe a un jeu televise dont le principe est le suivant. Le presentateur lui montre deux boites contenant chacune une certaine somme.
Tout ce qu'on sait c'est que l'une contient deux fois plus d'argent que l'autre.
Puis, le presentateur choisit une boite et l'ouvre devant le joueur. Le joueur peut alors soit prendre la somme qu'il voit dans cette boite, ou decider plutot de prendre l'argent qui est dans l'autre boite (en aveugle).
Mettons que la boite ouverte contiennent 500 euros. Il y a deux cas : soit l'autre boite contient 250 soit elle contient 1000. Donc l'esperance de gain est de 1250/2 = 625 euros si le joueur decide de prendre l'autre boite. Comme 625>500, on voit que le joueur a toujours interet a choisir l'autre boite, quelle que soit la boite ouverte par le presentateur. C'est absurde. Ou est le probleme?

Ah mon avis, le problème est que toutes les sommes ne peuvent pas avoir une probabilité équiprobable d'être d'en la première boite... quand il ouvre la première boite, il y a t'il autant de chance qu'il y trouve 50 euros que cinquante billiard de billiard d'euros ? ou alors cinquante billiard fois plus ?
bref en réalité, plus la somme est grosse, plus il a intéret à la prendre.

[One Eye Jack]

ou plutot, si la boite contient plus d'argent que dans la moyenne des boites des jeux télé alors il a intéret à la prendre...

[One Eye Jack]

d'ailleurs donnez moi un réél en 0 et l'infinie au hasard équiprobable ! !
difficile et même impossible.

[zaron]

Ah mon avis, le problème est que toutes les sommes ne peuvent pas avoir une probabilité équiprobable d'être d'en la première boite... quand il ouvre la première boite, il y a t'il autant de chance qu'il y trouve 50 euros que cinquante billiard de billiard d'euros ? ou alors cinquante billiard fois plus ?
bref en réalité, plus la somme est grosse, plus il a intéret à la prendre

Je suis tout à fait daccord avec le fait que la decision de prendre ou de ne pas prendre l'autre boite depend de la somme maximale qu'il est possible de gagner, et dans cette hypothese, il est evident que la moitie de cette somme est une limite au dela de laquelle il faut prendre la premiere boite. et il parait claire que en dessous de cette somme l'esperance de gain est toujours plus grande en prenant l'autre boite.

Ca me fait penser à un jeu :

vous prenz un jeu de carte, vous le melanger puis vous retournez les cartes une à une tant que vous pensez que la carte suivante sera superieure (en doublant la mise à chaque fois par exemple)

zaron

[Partage]

Envoyé par vuibert

Mettons que la boite ouverte contiennent 500 euros. Il y a deux cas : soit l'autre boite contient 250 soit elle contient 1000. Donc l'esperance de gain est de 1250/2 = 625 euros si le joueur decide de prendre l'autre boite. Comme 625>500, on voit que le joueur a toujours interet a choisir l'autre boite, quelle que soit la boite ouverte par le presentateur. C'est absurde. Ou est le probleme?

Bon je suis pas un matheux, mais on peu faire un parallèle avec le poker.
En gros, tout dépend de la mise initial et de la probabilité de gain.

En admettant que dans ta boite il y ai 500 et que l'on ignore ce que contienne l'autre.
Au niveau propabilité c'est 1 chance sur 2 qu'elle contienne 1000 ou 250.
Dans le pire des cas tu reste a 250.
C'est pas du quitte ou double, c'est ce qui change les cotes.

En quitte ou double, ça reviendrais a miser 500 pour gagner 1000 (doubler la mise) ou tout perdre. C'est du 1 chance sur 2, du pile ou face.
En admettant que tu fasse le pari X fois, tu sera ni gagnant, ni perdant (probablement).

Dans notre cas tu as 500.
Tu mise 250 sur tes 500(car 250 sont déjà garantis) pour esperer gagner 650 (tripler la mise pour arriver a 1000) ou perdre ta mise et rester a 250, avec la même probabilité de 50%.
C'est du 1 chance sur 2 de tripler, donc c'est rentable sur le long terme.

Et là encore il y a 2 cas de figure :
1/ Soit tu considère que tu part de 0 et que t'as 1 chance sur 2 de repartir avec 250 ou 1000. Et c'est tout bénéf donc tu fonce.
2/Soit tu considere t'es 500 acquis et tu repart soit avec 250, soit avec 1000.
Sur le long terme, sur X coups, c'est un pari qui est bénéficiaire. Mais sur un seul coup ça reste du 50/50. Donc, a toi de voir si tu veux "gambler" tes 250.

C'est ce que j'ai compris d'aprés cette page :
http://www.clubpoker.net/showpage/?id=507