Nombres premiers (again)

Bonjour,

Encore un petit problème de Spé... Satanée arithmétique ! :mad2:

Je poste d'abord l'énoncé et en entier pour éviter tout problème :

n est un entier qui admet 5 diviseurs. Et n-16 est le produit de deux entiers premiers

1\ Prouver que n=p^4, avec p premier

2\ Ecrivez n-16 sous forme d'un produit de trois facteurs dépendant de p.

3\ Déduisez-en la valeur de n.

J'ai traduit cela de la façon suivante :

\mathfrak{D}(n) = \{1;\alpha;\beta;\gamma;n\}

n-16 = p_1 \times p_2 \Longleftrightarrow n = p_1 \times p_2 + 2^4

Et je voudrais montrer que : p^4 = p_1 \times p_2 + 2^4

Et c'est là que je commence à bloquer. C'est-à-dire dès la question 1... Je vois mal comment me servir du fait que n admet 5 diviseurs... Je vois mal comment montrer que p est premier. J'ai vraiment une mauvaise vue, je devrais acheter des lunettes !

Merci par avance.

\mathfrak{D}(n) = \{1;\alpha;\beta;\gamma;n\}



donc n = 1*n = \alpha*\gamma = \beta ^2

tu sais que \beta n'est pas premier car sinon n n'aurait pas \alpha et \gamma comme diviseurs, et donc \beta vaut forcément \alpha^2 (seul diviseur de n plus petit)

Et avec beta = p² alors ?

Je crois que c'est bon !

Si j'ai bien compris alors le p qu'on cherche est dans mon cas égal à alpha ?

Mais j'ai quand même du mal à la question 2... Euh ! Ah...attendez !

n-16=p_1.p_2 \Longleftrightarrow p^4 - 2^4= p_1.p_2

On oublie le produit de deux entiers premiers :

\Longleftrightarrow n-16=(p^2+2^2)(p^2-2^2)

\Longleftrightarrow n-16 = (p^2+2^2)(p-2)(p+2)

C'est bien ca le fameux produit ?

Mais je bloque vraiment après...

Il ne faut pas oublier que p1 et p2 sont premiers (c'est écrit en tout petit en haut de l'énoncé ;)).
donc si n-16 est le produit de trois nombres, tu peux en conclure quelque chose de très intéressant.......

Je peux peut être en conclure qu'il y en a un des trois qu vaut 1 ? :S:

Je trouve au final p=3 et n=3^4=81

Par contre, je vois mal comment expliquer "proprement" que beta = alpha ²...

Si quelqu'un voit...

n = 1*n = \alpha*\gamma = \beta ^2
donc \beta^2 est divisible par \alpha
Or aucun diviseur de \alpha autre que 1 et lui-même ne divise \beta^2
Donc \alpha est un nombre premier, et divise donc \beta
Or \beta^2 n'a pas d'autre diviseur que \alpha dans l'intervalle ]0;\beta[
donc les diviseurs de \beta sont {1,\alpha , \beta}
donc \beta = \alpha^2

Beh oui...

C'est démontré très proprement. Merci encore ced-29. Désolé de t'avoir encore une fois dérangé.

Je sais pas si c'est à cause des vacances ou d'autre chose (sûrement autre chose) mais j'ai perdu au moins la moitié de mes capacités réflexives, qui étaient déjà bien piètres.