e i pi ... probleme

**.:Spip:.** · 10/12/2004, 17h59

$e^{i\pi} = 1$ (1)
egalité que l'on connait

ce qui revientà

$exp(i\pi) = 1$

d'où
$ln(exp(i\pi)) = ln 1$

c a d
$i \pi = 0$

en elevant au ²
$(i \pi)^2= 0$
$i^2(\pi)^2= 0$

comme i² = -1

$-(\pi )^2= 0 \\ -\pi = 0$

petit probleme

donc (1) est faux

martini_bird · 10/12/2004, 18h07

Citation:

Envoyé par lephysicien

$e^{i\pi} = 1$ (1)
[...]
donc (1) est faux

Oui, (1) est faux...

Quinto · 10/12/2004, 18h11

Citation:

exp(ipi)=1 (1)
egalité que l'on connait

Ou qu'on connait mal

**.:Spip:.** · 10/12/2004, 18h19

ahhhrrrrr, pouvez vous me donner la bonne

martini_bird · 10/12/2004, 18h22

Citation:

Envoyé par lephysicien

ahhhrrrrr, pouvez vous me donner la bonne

Très certainement:
$e^{i\pi}=-1$ .

Quinto · 10/12/2004, 18h23

exp(2ikPI)=1
en particulier exp(2iPi)=1

Tu peux le retrouver toi meme:

exp(iz)=cos(z)+isin(z)

Quinto · 10/12/2004, 18h24

Je crois quand même qu'on te voit venir

**.:Spip:.** · 10/12/2004, 18h27

Citation:

Envoyé par Quinto

Je crois quand même qu'on te voit venir

ben oui, il doit y avoir un autre probleme produit par mon cerveau imperformant...

martini_bird · 10/12/2004, 18h32

lephysicien, tu soulèves une question subtile et intéressante au sujet des logarithmes: les logarithmes définis sur R+ sont bijectifs, mais sur C...

**.:Spip:.** · 10/12/2004, 18h34

Citation:

Envoyé par martini_bird

lephysicien, tu soulèves une question subtile et intéressante au sujet des logarithmes: les logarithmes définis sur R+ sont bijectifs, mais sur C...

oula bon ok, j'ai capté, je vois la limite de validité, mais en TS, je ne vois pas ca, tu peux m'expliquer grosso modo merci

martini_bird · 10/12/2004, 18h46

Ok, je vais tenter une explication "à la main"

.

Sur R, si exp(x)=y, tu peux écrire (sans crainte) que log(y)=x puisque l'exponentielle et le logarithme népérien sont réciproques l'une de l'autre (comme les fonctions $x\rightarrow x^2$ et $x\rightarrow\sqrt x$ ).

Comme $e^{i\pi}=-1$ , on a bien envie d'écrire que $\log(-1)=i\pi$ ; ça paraît bien logique tout ça! Et c'est là qu'on a un gros souci!

Pourquoi? Hé bien, simplement parce que $e^{3i\pi}=-1$ et qu'on pourrait aussi écrire $\log(-1)=3i\pi$ ... et donc $i\pi=3i\pi$ ...

Du coup, pour utiliser les logarithmes avec les nombres complexes, il faut être très précautionneux!

Et comme les matheux n'aiment pas trop les exceptions, ils ont inventé les revêtements, mais c'est une autre histoire...

Cordialement.

**.:Spip:.** · 10/12/2004, 19h08

tres bien merci beaucoup, ps, si vous savez celui qui a trouver cela, histoire de culture...

dupo · 10/12/2004, 19h29

Citation:

Et comme les matheux n'aiment pas trop les exceptions, ils ont inventé les revêtements, mais c'est une autre histoire...

tu voudrais pas continuer ? ça serait bien si t'as un peu de temps.
puisque le problème de "le physicien" est résolu.

martini_bird · 10/12/2004, 19h29

La question des logarithmes des nombres complexes est intimement liée à l'histoire des nombres complexes (dits "imaginaires" à l'époque) et explique en partie les nombreuses réticences à les employer depuis leur introduction (Bombelli, Cardan, Ferrari, ... pour résoudre les équations du 3° degré) jusqu'à leur représentation dans le plan (Gauss, Cauhy, Argand, ...). Je ne saurais trop t'inviter à t'y intéresser, voire à t'y plonger! (cherche sous google, ou si tu le souhaites, je peux t'indiquer quelques références)

Pour ta gouverne la formule $e^{i\pi}=-1$ est due à Euler, et la petite histoire veut qu'il s'en servît pour démontrer l'existence de Dieu (défiant Diderot) auprès de l'impératrice de Russie Catherine II.

martini_bird · 10/12/2004, 20h24

Salut Dupo,

les revêtements permettent de transformer une fonction "multivoque" (qui prend plusieurs valeurs) comme le logarithme en une fonction "univoque" (une vraie fonction).

Concrètement, sur le corps des complexes, si on veut définir le logarithme complexe, il y a deux solutions:
-soit on ôte une partie du domaine de définition (la demi-droite ]-oo, 0] en général: c'est la détermination principale du logarithme);
-soit on considère que le logarithme est définie sur un ensemble un peu plus compliqué (mais qui a de bonnes propriétés, en particulier de ressembler localement à un ouvert de C): c'est la théorie des revêtements et des surfaces de Riemann.

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