[termS] spé petit exo

[Claudinne]

Tout d'abort bonne année, et merci d'avance pour votre aide!!
J'ai réussi la première questions qui était:
determiner les couples (x;y) tel que x-9y=13

après l'application du Th. de Gauss, je trouve
x=9k+22 (k réel)
et y=k+1

2. DEterminer tous les couples (a;b) d'entiers naturels qui verifient la relation PPCM(a;b)-9 PGCD(a;b)=13
on reconnait donc pour x=PPCM(a;b)
et y= PGCD(a;b)
donc PGCD(a;b)=k+1
et PPCM(a;b)=9k+22

on sait que PGCD(a;b).PPCM(a;b)=ab

on pose a=a'PGCD(a;b)
et b=b'PGCD(a;b)
on a donc PPCM(a;b)=a'b' PGCD(a;b)
soit 9k+22=a'b' (k+1)
donc il faut que k+1 divise 9k+22

j'ai l'impréssion que je suis parti dans la bonne direction même si pour l'instant je ne vois pas par ou continuer!!
Merci de votre aide et bonne soirée

[Jeanpaul]

Il est bizarre, cet exo. Es-tu sûre de ne pas avoir mal compris ?
Question 1 : l'ensemble des couples (entiers) est bien évidemment :
y = n'importe quoi
x = 13 + 9 y

Question 2 : supposons que a et b ne soient pas premiers entre eux :
a = p a'
b = p b'
(p entier)
A ce moment :
ppcm(a;b) = p * ppcm (a';b')
pgcd (a;b) = p * pgcd(a';b')
on en tire que p divise 13, donc p vaut 1 ou 13.
P= 13 est impossible
Si p= 1, les nombres a et b sont premiers entre eux et leur pgdc vaut 1. Donc leur ppcm vaut 22.
Vraiment trop simple, il y a un zombie.

[chouket]

Envoyé par Jeanpaul

Il est bizarre, cet exo. Es-tu sûre de ne pas avoir mal compris ?
Question 1 : l'ensemble des couples (entiers) est bien évidemment :
y = n'importe quoi
x = 13 + 9 y

J'ai t'ai peut être mal compris mais la question 1 c'est résoudre une équation diophantienne non? Si x' et y' sont solutions particulières alors la solution générale est:{(x'+ky);(y'-kx) quelquesoit k appartenant àZ} si pgcd(x,y) divise 13 ce qui est le cas puisque 1/13

C'est a dire ce que tu a écris Claudinne j'avais pas lu

pour la deuxième je ne sais pas