27/04/2005, 17h26
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#1 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
|  [Maths] [BacS] Approximations du nombre d'or
Le but de ce fil est de proposer aux élèves de Terminale qui le désirent de se lancer dans la résolution d'un problème de niveau bac avec l'aide bénévole et les explications des étudiants, enseignants, ingénieurs ou chercheurs qui fréquentent ce forum et qui le souhaitent.
Les débats entre élèves de Terminale sont aussi attendus et ils seront riches d'enseignement autant que pour les élèves que pour les enseignants...
Etant donnés que vous n'êtes pas mes élèves, il m'est très facile d'être très tolérant à votre égard car je n'éprouverai aucun sentiment de culbabilité face à vos erreurs... Donc n'hésiter pas à poser des questions qui vous taraude depuis la quatrième...
Le but du problème est de définir le nombre d'or et d'envisager trois suites convergeant vers le nombre d'or.
A) Le nombre d'or
1) Résoudre dans  l'équation x² - x - 1 =0.
La solution positive notée  est appelé le nombre d'or.
2) Démontrer les égalités:  ,  ,  et 
A vous de jouer en attendant la suite...
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27/04/2005, 17h56
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#2 |
Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22
Messages: 2 747
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Les démonstrations d'égalités ça marche, par contre pour trouver une suite qui converge vers le nombre d'or ...
En France vous voyez les suites infinies en terminales ?
En Belgique pas en tout cas ...
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27/04/2005, 17h59
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#3 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
|  Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ?
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27/04/2005, 18h02
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#4 |
Date d'inscription: mars 2004 Localisation: Fribourg (CH) Âge: 24
Messages: 4 364
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Si vous connaissez la suite de Fibonacci (j'ai écrit juste ?), ... (Un+1)/Un tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini.
C'est un nombre algébrique que vous connaissez sûrement.
Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.
Sachez que si on lui retranche 1, on obtient son inverse, et qu'il est positif (deuxième égalité).
Mais comment le démontrer... 
Shokin
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27/04/2005, 18h10
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#5 |
Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22
Messages: 2 747
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par doryphore Est-ce que tu veux bien m'expliquer ce que tu appelles suite infinie ? | Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale )
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27/04/2005, 18h11
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#6 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par shokin Et si vous connaissez sa notation algébrique, vous n'aurez pas trop de peine à démontrer les égalités.
| En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.
Il y a un autre moyen.
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27/04/2005, 18h16
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#7 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par Bleyblue Eh bien une suite possédant un nombre infini de termes. Quoi qu'il en soit les suites moi je ne les ai pas vues en terminales (en réthorique). Nous avons juste vu ce qu'est une suite numérique (algébrique, géométrique) ainsi que quelques infos générales destinées à introduire la notion de limites, en 5ième (l'année qui précède la terminale ) | Il y a combien de termes alors dans la suite arithmétique suivante:
U0=0 ; Un+1 = Un + 2
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27/04/2005, 18h22
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#8 |
Date d'inscription: mars 2004 Localisation: Fribourg (CH) Âge: 24
Messages: 4 364
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par doryphore En fait, je ne recommande pas vraiment d'utiliser la valeur algébrique du nombre d'or pour trouver les égalités.
Il y a un autre moyen. | J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ?
Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !
Shokin
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27/04/2005, 18h26
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#9 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par shokin J'imagine qu'il y en a d'autres. Mais de quoi veux-tu que nous partions ? si nous partons d'un certain nombre de propositions, il faudra les avoir démontrées au préalable (à moins que ce ne soient des axiomes). De quelles propositions veux-tu que nous partons ? | Non, pas d'axiomes ...
Mais, n'y a-t-il pas une façon de "caractériser " le nombre d'or autrement qu'en donnant directement sa valeur ?
Que sait-on sur le nombre d'or à ce stade de l'énoncé ?
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27/04/2005, 18h29
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#10 |
Date d'inscription: mars 2004 Localisation: Fribourg (CH) Âge: 24
Messages: 4 364
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.
On ne lui a même pas choisi une définition.
J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.
Shokin
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27/04/2005, 18h32
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#11 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
|  Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par shokin Tiens, au fait, je ne sais pas comment démontrer pour la suite définie par Un+2 = Un+1 + Un avec Un et Un+1 réels arbitraires que Un+2 / Un+1 tend vers ce nombre d'or lorsque n tend vers l'infini. Quelqu'un sait-il ? ce me serait ben utile !
| Tu poses Un = a* q^n avec a <>0 et q>0.
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27/04/2005, 18h33
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#12 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
Messages: 1 845
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par shokin Pourtant j'en sais rien, du nombre d'or.
On ne lui a même pas choisi une définition.
J'imagine seulement qu'il doit valoir de l'or, d'où mon grand intérêt.
Shokin | Si, dans l'énoncé que j'ai donné le nombre d'or a bien une définition...
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27/04/2005, 18h42
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#13 |
Date d'inscription: mars 2004 Localisation: Fribourg (CH) Âge: 24
Messages: 4 364
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
En résolvant l'équation x^2-x-1=0 je suppose. Alors tu trouveras sa valeur algébrique !
Shokin
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27/04/2005, 18h43
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#14 |
Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Nantes Âge: 21
Messages: 1 686
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par doryphore A) Le nombre d'or
1) Résoudre dans l'équation x² - x - 1 =0.
La solution positive notée est appelé le nombre d'or.
2) Démontrer les égalités: , , et | Bon pour l'équation pas de problème, on trouve facilement :
x=(1+sqrt(5))/2 ou x=(1-sqrt(5))/2
On pose ensuite 1+sqrt(5)/2 = phi
phi est une solution de l'équation, il vérifie donc : phi² - phi - 1 = 0 d'ou phi² = phi + 1
De plus, phi est non nul donc on divise la précédente égalité par phi d'ou phi= 1 + 1/phi et si on mets une racine on obtient phi = sqrt(1 + 1/phi)
on a phi² = phi + 1
donc phi² + 1 = phi + 2
d'ou (phi² + 1)/(2phi - 1) = (phi + 2)/( 2phi - 1)
or, phi = 1 + 1/phi donc phi = (phi + 1)/phi
d'ou 2phi - 1 = (2phi +2- phi)/phi
donc 2phi - 1 = (phi + 2)/phi
Ainsi (phi + 2)/( 2phi - 1) = phi
D'où (phi² + 1)/(2phi - 1) = phi
CQFD (desolé je n'ai pas encore eu le temps de me familiariser avec les balises latex... j'espère que j'ai été suffisamment clair avec les parenthèses)
Kron
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27/04/2005, 18h52
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#15 |
Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30
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|  Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Pour Shokin: la réponse de kron n'a pas fait appel à la valeur algébrique de phi, à aucun moment il ne s'en est servi pour déterminer que les égalités proposées sont vraies. Il s'est servi du fait que phi est une racine de l'équation sans utiliser sa valeur.
Pour kron, 1 ère et 2 ème égalité, c'est bien...
Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi.
La dernière, ça doit être bon.
Aurais-tu pu réécrire l'égalité que tu recherches autrement ?
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27/04/2005, 18h55
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#16 |
Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Nantes Âge: 21
Messages: 1 686
| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par doryphore Pour la troisième, pourquoi as-tu le droit d'appliquer la racine carrée à l'égalité et est tu sur que la racine carré de Phi ² = Phi. | sqrt(phi²) = |phi|
or, Phi est positif donc sqrt(phi²) = phi (j'avais oublié de préciser)
Kron
edit : comment dois je comprendre "réecrire l'expression autremnt" ?
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27/04/2005, 18h58
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#17 |
Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF
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| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique.
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27/04/2005, 19h03
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#18 |
Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Nantes Âge: 21
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| Re : [Maths] [Bac S] Approximations du nombre d'or
Citation: |
Envoyé par matthias On peut aborder le nombre d'or par les fractions continues (lien avec la deuxième égalité). C'est pratique pour trouver une suite convergeant vers le nombre d'or, auquel s'ajoute l'intérêt historique. | Je ne vois pas vraiment de relation entre les suites convergeant vers le nombre d'or et l'histoire... A part la suite de Fibonacci, y a t-il d'autres suies dont la limite est le nombre d'or ?
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