martini_bird
05/05/2005, 15h44
Bonjour à tous,
le voici, le voilà, le problème sur la formule de Stirling!
Il s'agit d'une estimation asymptotique de la factorielle:
\large n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
En d'autres termes, il s'agit de prouver que:
\large \lim_{n\rightarrow +\infty} \;\; n!\left(\frac{e}{n}\right)^n \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}=1
On définit ainsi les suites (un), (vn) et (wn) pour n\geq 1 par:
\large u_n=\log(n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right)\log (n)+n
\large v_n=u_n-\frac{1}{12n}
\large w_n=\frac{n! \, e^n}{n^n\sqrt{n}}
Il faut donc prouver que (wn) converge et déterminer sa limite.
Nous aurons besoin d'étudier les fonctions suivantes, définies pour x\in[1, +\infty ],
\large f(x)=1-\left(x+\frac{1}{2}\right)\, \log\left(1+ \frac{1}{x}\right)\;\;\; et \;\;\;\large g(x)=f(x)-\frac{1}{12}\, \left(\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x}\right)
Préliminaires
1- Vérifier que \log(w_n)=u_n.
2- Prouver que:
___ a) \large u_{n+1}-u_n=f(n)
___ b) \large v_{n+1}-v_n=g(n)
Etude de f
3- Démontrer que f est deux fois dérivables sur [1, +\infty] et que:
\large f^'(x)=-\log\left(\frac{1}{x}+1\right) +\frac{2x+1}{2x(x+1)}\; ;\;\;\; f^{''}(x)=-\frac{1}{2x^2(x+1)^2}
4- Dresser le tableau de variation de f ', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de f '.
5- Etude de la limite de f en +\infty
___ a) Démontrer que pour tout x\geq 1
___\large \frac{1}{x+1}\leq \log\left(1+\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x}.
___ b) En déduire un encadrement sur [1, +\infty] de
___\large \left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(1+\frac{1}{x}\right).
___ c- Justifier que \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) existe et calculer cette limite.
6- Dresser le tableau de variation de f et conclure quant à son signe.
Etude de g
7- Démontrer que g est deux fois dérivables sur [1, +\infty] et que:
\large g^'(x)=f^'(x)-\frac{1}{12}\left(\frac{1}{x^2 }-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\; ;\;\;\; g^{''}(x)=\frac{1}{6x^3(x+1)^3 }
8- Dresser le tableau de variation de g', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g'.
9- Dresser le tableau de variation de g, étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g.
La formule!
10- Etudier la monotonie de (un) et (vn).
11- Démontrer que (un) et (vn) sont adjacentes et en déduire que (un) converge vers un nombre réel l.
12- En utilisant la formule de Wallis, prouver que
\large \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(w_n)^2}{w_{2n}}=\sqrt{2 \pi}
13- Conclure.
Le sujet est un peu long, mais vous devriez vous en sortir. ;)
Bon courage!
______________________________
Pour la petite histoire, cette formule apparaît pour la première fois dans les Miscellanea Analytica de Abraham de Moivre en 1730. James Stirling, qui entretenait une correspondance avec De Moivre, lui a signalé quelques erreurs dans sa table des logarithmes des factorielles. Mais il a surtout amélioré la formule qui porte aujourd'hui son nom, pourtant due à De Moivre...
La formule améliorée de Stirling:
\large n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1} {288n^2}-\frac{139}{51480n^3}- \frac{571}{2488320n^4}+... \right)
le voici, le voilà, le problème sur la formule de Stirling!
Il s'agit d'une estimation asymptotique de la factorielle:
\large n!\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
En d'autres termes, il s'agit de prouver que:
\large \lim_{n\rightarrow +\infty} \;\; n!\left(\frac{e}{n}\right)^n \frac{1}{\sqrt{2\pi n}}=1
On définit ainsi les suites (un), (vn) et (wn) pour n\geq 1 par:
\large u_n=\log(n!)-\left(n+\frac{1}{2}\right)\log (n)+n
\large v_n=u_n-\frac{1}{12n}
\large w_n=\frac{n! \, e^n}{n^n\sqrt{n}}
Il faut donc prouver que (wn) converge et déterminer sa limite.
Nous aurons besoin d'étudier les fonctions suivantes, définies pour x\in[1, +\infty ],
\large f(x)=1-\left(x+\frac{1}{2}\right)\, \log\left(1+ \frac{1}{x}\right)\;\;\; et \;\;\;\large g(x)=f(x)-\frac{1}{12}\, \left(\frac{1}{x+1}- \frac{1}{x}\right)
Préliminaires
1- Vérifier que \log(w_n)=u_n.
2- Prouver que:
___ a) \large u_{n+1}-u_n=f(n)
___ b) \large v_{n+1}-v_n=g(n)
Etude de f
3- Démontrer que f est deux fois dérivables sur [1, +\infty] et que:
\large f^'(x)=-\log\left(\frac{1}{x}+1\right) +\frac{2x+1}{2x(x+1)}\; ;\;\;\; f^{''}(x)=-\frac{1}{2x^2(x+1)^2}
4- Dresser le tableau de variation de f ', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de f '.
5- Etude de la limite de f en +\infty
___ a) Démontrer que pour tout x\geq 1
___\large \frac{1}{x+1}\leq \log\left(1+\frac{1}{x}\right) \leq \frac{1}{x}.
___ b) En déduire un encadrement sur [1, +\infty] de
___\large \left(x+\frac{1}{2}\right)\log \left(1+\frac{1}{x}\right).
___ c- Justifier que \lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) existe et calculer cette limite.
6- Dresser le tableau de variation de f et conclure quant à son signe.
Etude de g
7- Démontrer que g est deux fois dérivables sur [1, +\infty] et que:
\large g^'(x)=f^'(x)-\frac{1}{12}\left(\frac{1}{x^2 }-\frac{1}{(x+1)^2}\right)\; ;\;\;\; g^{''}(x)=\frac{1}{6x^3(x+1)^3 }
8- Dresser le tableau de variation de g', étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g'.
9- Dresser le tableau de variation de g, étudier les limites aux bornes et en déduire le signe de g.
La formule!
10- Etudier la monotonie de (un) et (vn).
11- Démontrer que (un) et (vn) sont adjacentes et en déduire que (un) converge vers un nombre réel l.
12- En utilisant la formule de Wallis, prouver que
\large \lim_{n\rightarrow +\infty} \frac{(w_n)^2}{w_{2n}}=\sqrt{2 \pi}
13- Conclure.
Le sujet est un peu long, mais vous devriez vous en sortir. ;)
Bon courage!
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Pour la petite histoire, cette formule apparaît pour la première fois dans les Miscellanea Analytica de Abraham de Moivre en 1730. James Stirling, qui entretenait une correspondance avec De Moivre, lui a signalé quelques erreurs dans sa table des logarithmes des factorielles. Mais il a surtout amélioré la formule qui porte aujourd'hui son nom, pourtant due à De Moivre...
La formule améliorée de Stirling:
\large n!=\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1} {288n^2}-\frac{139}{51480n^3}- \frac{571}{2488320n^4}+... \right)
