[Maths] [Prépa] Formule sommatoire de poisson - Forum Exercices pour les concours et examens

Gwyddon · 07/05/2005, 23h41

Salut à tous,

Dans un mois et demi, les oraux des concours des CPGE commencent, et je vous propose ici un exercice assez intéressant quant au résultat final. L'exercice est tiré d'un oral de Polytechnique.

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Soit f une fonction de classe $C^{\infty}$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{C}$ . On suppose que pour tout couple d'entiers naturels (m,n) on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty} x^n f^{(m)} (x) = 0$ .

On pose $\phi(x) = \displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} f(x+ 2 k \pi }$ .

1. Que dire de $\phi$ ? Calculer ses coefficients de Fourier.
2. En déduire la formule sommatoire de Poisson :

$\displaystyle \sum_{k \in \mathbb{Z}} f(2 k \pi ) = \frac{1}{2 \pi} \sum_{n \in \mathbb{Z}} \hat{f} (n)$

avec $\hat{f} (n) = \displaystyle \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-i n t} dt$ .

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Bon courage !

Note : je précise bien que je poste cet exercice non pas parce que j'en souhaite la résolution, mais pour proposer un exercice de révision

martini_bird · 08/05/2005, 00h05

Salut,

pour ceux que celà intéresse, on pourra dériver de la formule de Poisson un résultat dû à Jacobi sur la modularité d'une fonction theta...

Cordialement.

martini_bird · 08/05/2005, 00h24

... Qui permet entre autres de démontrer l'équation fonctionelle de la fonction $\zeta$ de Riemann.

BS · 08/05/2005, 01h14

Et tant qu'on y est, c'est exactement le même genre de formule sur des groupes plus généraux qu'a utilisé John Tate dans sa célèbre thèse pour démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions L abéliennes (dont la fonction zeta est un cas particulier).

beygey · 15/06/2007, 10h10

Bonjour à tous ! je sais que ce topic est vieux mais je suis tombé dessus en faisant des recherches car je dois demontrer l'equation fonctionnelle de la fonction zeta pour mon tipe (je suis en premiere annee de classe prepa). J'ai fait l'exercice proposé et je voudrais donc savoir comment à partir de cela on peut arriver à établir l'equation.

J'imagine que ceci n'a rien d'evident donc je ne m'attend bien evidemment pas à ce que vous me donniez la solution entiere. En revanche si vous avez des liens ou ceci est expliqué, je suis prenneur !!

J'ai notemment vu des demonstrations où l'on calculait la transformée de Fourier de x->|x|^(-s), ce qui me parait tout de même bizzare puisque cette fonction n'est pas intégrable sur R...

merci d'avance !

martini_bird · 20/07/2007, 18h31

Salut,

oups, je suis en retard, désolé !

La formule de Poisson permet de démontrer que la fonction $\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}e^{-n^2\pi x}$ vérifie $\sqrt{x}\theta(x)=\theta\left( \frac{1}{x}\right)$ .

Or tu peux vérifier que $\Gamma\left(\frac{s}{2}\right) \pi^{-s/2}\zeta(s)= \int_0^{\infty}\omega(x)x^{s/2}\frac{dx}{x}$ avec $\omega(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n^2\pi x}=\frac{\theta(x)-1}{2}$ .

Cordialement.

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