[Maths] [Prépa] Formule d'Euler - Forum Exercices pour les concours et examens

Gwyddon · 08/05/2005, 12h04

D'ailleurs, petit prolongement : soit z un complexe qui n'est pas dans $2 \imath \pi \mathbb{Z}$ et $\phi$ fonction $2 \pi$ périodique définie par $\displaystyle \phi(x) = \exp (\frac{z x}{2 \pi})$ sur $]- \pi ; \pi]$ .

A l'aide de son développement en série de Fourier, trouver le développement en série entière au voisinage de 0 de la fonction $f : z \in \mathbb{C} \mapsto \displaystyle \frac{z}{e^z -1}$ .

Sachant que développement s'écrit aussi $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} \frac{b_n}{n!} z^n$ où les b_n sont les nombres de Bernoulli, en déduire la formule d'Euler :

$\displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^{2k}} = (-1)^{k-1} \frac{(2 \pi)^{2k}}{2 (2k)!} b_{2k}$

martini_bird · 08/05/2005, 13h03

Bonjour,

ce message a été scindé de la discussion sur la formule sommatoire de Poisson.

Cordialement.

Gwyddon · 09/05/2005, 11h56

Merci martini_bird d'avoir scindé (et déplacé) la discussion ici.

Je rajoute une petite indication : lors du calcul des coefficients de Fourier, penser à introduire une nouvelle fonction dont on trouvera l'équation différentielle qu'elle vérifie afin d'explicitement cette fonction.

Amusez-vous bien

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