[Maths] [L2] Calcul de zeta2 - Forum Exercices pour les concours et examens

**matthias** · 18/05/2005, 13h22

Bonjour, voici un exercice proposé par 09Jul85, permettant un calcul de $\zeta(2)$

1. Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ tel que :

$\displaystyle \large \forall \; t \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ , \; P_n(cotan^2 t) = \frac{\sin[(2n+1)t]}{\sin^{2n+1} t}$

2. Expliciter les racines de $P_n$ et calculer leur somme.

3. Démontrer que:

$\displaystyle \forall \; t \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ , \; cotan^2 t \; \leq \; \frac{1}{t^2} \; \leq \; cotan^2 t + 1$

4. En déduire la valeur de :

$\zeta(2) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2}$

bobbyfischer · 12/07/2005, 14h39

1) je crois que le poly en question c'est $P_n(X)=(X+\i)^{2n+1}-(X-\i)^{2n+1}$ j ai pas fait le calcul mais normalement ca doit marcher, mais de la a prouver qu il est unique...ca m'interesserait de savoir comment faire !

2). ses racines seront les $x_k=cotan^2(t_k)$ ou les $t_k$ sont solutions ds $]0,\pi/2[$ de l equation $\frac{sin[(2n+1)t]}{sin^{2n+1}{t}}=0$
or ces solutions sont exactement les $\frac{k\pi}{2n+1}$ or la fonction $cotan$ etant bijective sur $]0,\pi/2[$ (enfin j espere, j ai pas verifie

) on obtient de ce fait $2n+1$ racines, par contre pour la somme je sens qu il faut utiliser les fonctions elementaires symetriques, mais d'une je ne m'en souviens plus et de deux on a pas les coefs du polynome donc n fait ca risque de pas marcher

3)on a $sin{x}\leq{x}\tan{x}$

bobbyfischer · 12/07/2005, 14h48

grrrrrr me suis encore trompe de bouton
bon ds le premier message il faut comprendre $\frac{k\pi}{2n+1}$

puis pour 3) $sin{x}\leq{x}\leq,tan{x}$ d ou l on tire
$cotan{x}\leq\frac{1}{x}$ puis $cotan^2{x}\leq\frac{1}{x^2}$ car on est ds $]0,1[$
par contre la 2eme partie je vois pas trop d ou la sortir

4)il faut encadrer la somme avec les questions precedentes je pense pas qu il y ait bcp de difficultes

**matthias** · 13/07/2005, 11h04

Pour la 1), tu peux t'intéresser à la partie imaginaire de :
$\frac{e^{i(2n+1)t}}{sin^{2n+1} t}$
en la calculant de 2 manières différentes, tu devrais retomber sur tes pattes.

bobbyfischer · 13/07/2005, 12h17

le hic c'est que je ne vois meme pas comment la calculer d'une seule maniere car a part dire que c'est egal au second membre de l egalite definissant le polynome, je vois pas trop ce qu on peut en faire

**matthias** · 13/07/2005, 12h27

Tu connais la formule du binôme de Newton pour calculer (a+b)ⁿ ?

bobbyfischer · 13/07/2005, 12h33

bien sur pourquoi n'y ai-je pas pense avant

bobbyfischer · 13/07/2005, 13h17

bon je vais pas detailler tous les calculs parce que c'est chaud a ecrire avec latex, donc je dis ce que j'ai fait: j ai separe la somme en 2 (les entiers pairs et les impairs)
et finalement j trouve:
$\displaystyle{e^{i(2n+1)}=\sum _{p=0}^{\lfloor \frac{2n+1}{2}\rfloor} [\left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p \end{array} \right) \cos{t} + \left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p+1 \end{array} \right) i \sin{t}] \cos^{2(n-p)}(t). \sin^{2p}(t).(-1)^p}$

bon mais j ai surement du faire une erreur parce que je vois pas trop comment ca a se simplifier cette histoire

en tout cas j aurais appris des nouvelles commandes latex d'ailleurs juste comme ca ca serait bien que le latex ait la meme gueule ici que sur les-mathemaituqes.net parce qu'il est bcp plus joli la-bas

**matthias** · 13/07/2005, 13h39

Houla, c'est bien compliqué. J'ai du mal à voir comment tu as obtenu ça.

$\frac{e^{i(2n+1)t}}{sin^{2n+1} t} = {\left( \frac{e^{it}}{sin(t)} \right)}^{2n+1} = (cotan(t)+i)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} C_{2n+1}^k.cotan^kt.i^{2n+1-k}$

Tu prends la partie imaginaire, tu simplifies un peu.

bobbyfischer · 13/07/2005, 14h53

lol

moi j ai juste developpe l'exponentielle, pas le quotient, je suis un peu fatigue ces temps-ci

bon je vais voir ce que je peux faire mnt

**matthias** · 13/07/2005, 14h57

Ca ne change rien. C'est juste un chouya plus simple comme ça parce que les cotan(t) apparaissent immédiatement.

bobbyfischer · 13/07/2005, 15h38

donc finalement je trouve ca:

$\frac{\sin[(2n+1)t]}{\sin^{2n+1}(t)}=\sum_{p=0}^{ \lfloor \frac{2n+1}{2} \rfloor} \left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p+1 \end{array} \right).cotan^{2(n-p)}(t).(-1)^p$

et on obtient le poly en remplacant cotan^2 par $X$

c'est ca ?

**matthias** · 13/07/2005, 16h13

Tu ne devrais pas avoir de mal à simplifier la partie entière de (2n+1)/2 (d'ailleurs pas très clair dans ton expression).
Sinon es-tu sûr d'avoir pris les bons coefficients binomiaux en séparant partie réelle et partie imaginaire ?

bobbyfischer · 13/07/2005, 16h38

pour la partie entiere effectivment ca fait n

et pour les coeffs binomiaux oui je suis pratiquement sur de moi parce qu on separe la somme en 2 sommes(celle portant sur les pairs et celle portant sur les impairs) et c'est la somme des impairs qui compte ds la partie imaginaire donc le "chgt de var" si on peut l'appeler comme ca est bien 2p+1 ? ou alors je n'ai rien compris...

**matthias** · 13/07/2005, 17h01

Tu as raison c'est bon, c'est moi qui me suis embrouillé.

bobbyfischer · 13/07/2005, 17h33

ouf j'y serais arrive laborieusement qd meme !

mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ?

ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
la suite doit etre plus facile

est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome $a_n.X^n+...+a_1.X+a_0$

**matthias** · 25/07/2005, 12h09

Citation:

Envoyé par bobbyfischer

mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ?

Tu peux déjà montrer facilement que si plusieurs polynômes conviennent, ils doivent prendre les mêmes valeurs sur ]0;+infini[

Citation:

Envoyé par bobbyfischer

ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6
la suite doit etre plus facile

est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome $a_n.X^n+...+a_1.X+a_0$

Tu as un polynôme de degré n à n racines. Tu peux l'écrire sous la forme:
$a_n \prod_{k=1}^{n}(X-\alpha_k)$
et regarder ce que vaut le coefficient en X^n-1

harmonieee · 20/12/2005, 23h07

Bonsoir, je viens vous demander un petit peu d'aide, car j'ai à peu près le meme travail, j'ai traité les premières questions, mais je suis bloquée au calcul de la somme des racines car je nai pas encore vu les fonctions élémentaires symétriques...Alors si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer...

Merci beaucoup à celui ou celle qui me consacrera un peu de tps...

18/05/2005, 13h22	#1
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	[Maths] [L2] Calcul de zeta2 Bonjour, voici un exercice proposé par 09Jul85, permettant un calcul de $\zeta(2)$ 1. Soit n un entier naturel. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ tel que : $\displaystyle \large \forall \; t \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ , \; P_n(cotan^2 t) = \frac{\sin[(2n+1)t]}{\sin^{2n+1} t}$ 2. Expliciter les racines de $P_n$ et calculer leur somme. 3. Démontrer que: $\displaystyle \forall \; t \in \left] 0 ; \frac{\pi}{2} \right[ , \; cotan^2 t \; \leq \; \frac{1}{t^2} \; \leq \; cotan^2 t + 1$ 4. En déduire la valeur de : $\zeta(2) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n^2}$

12/07/2005, 14h39	#2
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 1) je crois que le poly en question c'est $P_n(X)=(X+\i)^{2n+1}-(X-\i)^{2n+1}$ j ai pas fait le calcul mais normalement ca doit marcher, mais de la a prouver qu il est unique...ca m'interesserait de savoir comment faire ! 2). ses racines seront les $x_k=cotan^2(t_k)$ ou les $t_k$ sont solutions ds $]0,\pi/2[$ de l equation $\frac{sin[(2n+1)t]}{sin^{2n+1}{t}}=0$ or ces solutions sont exactement les $\frac{k\pi}{2n+1}$ or la fonction $cotan$ etant bijective sur $]0,\pi/2[$ (enfin j espere, j ai pas verifie ) on obtient de ce fait $2n+1$ racines, par contre pour la somme je sens qu il faut utiliser les fonctions elementaires symetriques, mais d'une je ne m'en souviens plus et de deux on a pas les coefs du polynome donc n fait ca risque de pas marcher 3)on a $sin{x}\leq{x}\tan{x}$ Dernière modification par deep_turtle ; 13/07/2005 à 13h50. Motif: correction de balise TeX

12/07/2005, 14h48	#3
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 grrrrrr me suis encore trompe de bouton bon ds le premier message il faut comprendre $\frac{k\pi}{2n+1}$ puis pour 3) $sin{x}\leq{x}\leq,tan{x}$ d ou l on tire $cotan{x}\leq\frac{1}{x}$ puis $cotan^2{x}\leq\frac{1}{x^2}$ car on est ds $]0,1[$ par contre la 2eme partie je vois pas trop d ou la sortir 4)il faut encadrer la somme avec les questions precedentes je pense pas qu il y ait bcp de difficultes Dernière modification par bobbyfischer ; 12/07/2005 à 14h51.

13/07/2005, 11h04	#4
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Pour la 1), tu peux t'intéresser à la partie imaginaire de : $\frac{e^{i(2n+1)t}}{sin^{2n+1} t}$ en la calculant de 2 manières différentes, tu devrais retomber sur tes pattes.

13/07/2005, 12h17	#5
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 le hic c'est que je ne vois meme pas comment la calculer d'une seule maniere car a part dire que c'est egal au second membre de l egalite definissant le polynome, je vois pas trop ce qu on peut en faire

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13/07/2005, 12h27	#6
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Tu connais la formule du binôme de Newton pour calculer (a+b)ⁿ ?

13/07/2005, 12h33	#7
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 bien sur pourquoi n'y ai-je pas pense avant

13/07/2005, 13h17	#8
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 bon je vais pas detailler tous les calculs parce que c'est chaud a ecrire avec latex, donc je dis ce que j'ai fait: j ai separe la somme en 2 (les entiers pairs et les impairs) et finalement j trouve: $\displaystyle{e^{i(2n+1)}=\sum _{p=0}^{\lfloor \frac{2n+1}{2}\rfloor} [\left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p \end{array} \right) \cos{t} + \left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p+1 \end{array} \right) i \sin{t}] \cos^{2(n-p)}(t). \sin^{2p}(t).(-1)^p}$ bon mais j ai surement du faire une erreur parce que je vois pas trop comment ca a se simplifier cette histoire en tout cas j aurais appris des nouvelles commandes latex d'ailleurs juste comme ca ca serait bien que le latex ait la meme gueule ici que sur les-mathemaituqes.net parce qu'il est bcp plus joli la-bas Dernière modification par bobbyfischer ; 13/07/2005 à 13h22.

13/07/2005, 13h39	#9
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Houla, c'est bien compliqué. J'ai du mal à voir comment tu as obtenu ça. $\frac{e^{i(2n+1)t}}{sin^{2n+1} t} = {\left( \frac{e^{it}}{sin(t)} \right)}^{2n+1} = (cotan(t)+i)^{2n+1} = \sum_{k=0}^{2n+1} C_{2n+1}^k.cotan^kt.i^{2n+1-k}$ Tu prends la partie imaginaire, tu simplifies un peu.

13/07/2005, 14h53	#10
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 lol moi j ai juste developpe l'exponentielle, pas le quotient, je suis un peu fatigue ces temps-ci bon je vais voir ce que je peux faire mnt

13/07/2005, 14h57	#11
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Ca ne change rien. C'est juste un chouya plus simple comme ça parce que les cotan(t) apparaissent immédiatement.

13/07/2005, 15h38	#12
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 donc finalement je trouve ca: $\frac{\sin[(2n+1)t]}{\sin^{2n+1}(t)}=\sum_{p=0}^{ \lfloor \frac{2n+1}{2} \rfloor} \left( \begin{array}{c} 2n+1\\2p+1 \end{array} \right).cotan^{2(n-p)}(t).(-1)^p$ et on obtient le poly en remplacant cotan^2 par $X$ c'est ca ?

13/07/2005, 16h13	#13
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Tu ne devrais pas avoir de mal à simplifier la partie entière de (2n+1)/2 (d'ailleurs pas très clair dans ton expression). Sinon es-tu sûr d'avoir pris les bons coefficients binomiaux en séparant partie réelle et partie imaginaire ?

13/07/2005, 16h38	#14
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 pour la partie entiere effectivment ca fait n et pour les coeffs binomiaux oui je suis pratiquement sur de moi parce qu on separe la somme en 2 sommes(celle portant sur les pairs et celle portant sur les impairs) et c'est la somme des impairs qui compte ds la partie imaginaire donc le "chgt de var" si on peut l'appeler comme ca est bien 2p+1 ? ou alors je n'ai rien compris...

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13/07/2005, 17h01	#15
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Tu as raison c'est bon, c'est moi qui me suis embrouillé.

13/07/2005, 17h33	#16
bobbyfischer Date d'inscription: juillet 2005 Âge: 21 Messages: 54	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 ouf j'y serais arrive laborieusement qd meme ! mais mon probleme reste le meme: comment prouve-ton l'unicite d'un tel polynome ? ensuite pour la question 2) on utilise les fonctions symetriques elementaires donc en theorie la somme des racines est egale a 2n(2n-1)/6 la suite doit etre plus facile est-ce que quelqu un porrait me donner la relation entre coefficients et racines au degre k pour un polynome $a_n.X^n+...+a_1.X+a_0$

20/12/2005, 23h07	#18
harmonieee Date d'inscription: décembre 2005 Messages: 1	Re : [Maths] [L2] Calcul de zeta2 Bonsoir, je viens vous demander un petit peu d'aide, car j'ai à peu près le meme travail, j'ai traité les premières questions, mais je suis bloquée au calcul de la somme des racines car je nai pas encore vu les fonctions élémentaires symétriques...Alors si quelqu'un avait la gentillesse de m'expliquer... Merci beaucoup à celui ou celle qui me consacrera un peu de tps...

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