[Maths-Physique] [TS-L] quaternions,opérateurs, équations de Maxwell

[mtheory]

A l'époque où Maxwell fut conduit à développer sa théorie des équations de l'électromagnétisme la notation vectoriel que l'on emploie aujourd'hui était inconnue et le concept même de vecteur n'était pas aussi répandu qu'aujourd'hui .En fait Maxwell et ses contemporains anglos saxons avaient plutôt tendance à utiliser les opérateurs divergence et rotationel des équations de Maxwell en utilisant le concept de quaternion,
Il en reste des traces même aujourd'hui comme on le verra

Je vais proposer quelques petits exercices avec des posst successifs et faire quelques commentaires autour pour introduire ces idées.Ce sera l'occasion de réviser quelques notions sur les nombres complexes et l'emploi/calcul d'opérateurs différentiels.

Le début sera accessible à des TS et la fin devrait normalement être profitable à des étudiants de niveau L2/L3.

Les quaternions n'ont l'air de rien mais ils contiennent en germe les spineurs de la MQ et même la supersymétrie (algèbre de Clifford).En outre ils sont utilisés en infographie et en robotique à cause du traitement aisé qu'ils permettent des rotations 3D.

Le découvreur des quaternions c'est l'irlandais Hamilton.

http://encyclopedie.snyke.com/articl..._hamilton.html


On sait que les nombres complexes peuvent s'interpréter dans le plan comme un point de celui-ci et qu'ils sont reliés aux opérations de translations ,de rotations et même au dilatations dans les homothéties,en un mot ce sont des outils puissants pour traiter des similitudes dans le plan.
Beaucoup de concepts géométriques centraux sont donc contenus dans les nombres complexes ,en outre on y voit une connexion de plus entre géométrie et arithmétique.

Il semble donc naturel de se poser la question de l'existence d'un calcul analogue DANS L 'ESPACE 3D , par exemple peut t'on introduire des nombres permettant de calculer sur les rotations dans l'espace comme on peut le faire dans le plan avec les complexes?.

Hamilton ,après des recherches infructeuses, trouva qu'il pouvait aboutir à son but s'il définissait d'abord un calcul dans l'espace 4D R⁴ et s'il abandonnait la commutativité de la multiplication.

Voyons ça de plus prés.

Posons =a1+bi où 1 représente l'analogue de i , on à bien 1²=1, i²=-1.

Maintenant posons: =a1+bi+cj+dk avec i²=j²=k²=-1 ij=k

Par analogie avec les nombres complexe posont =a1-bi-cj-dk.

Si l'on veut avoir la généralisation de =a²+b² que doit on avoir pour et quelles doivent être les propriétés des différents produits possible comme ik ,ij etc...pour cela.

Donnez le tableau de ces différents produits.

Soit =At1+Axj+Ayj+Azk et =Bt1+Bxj+Byj+Bzk

Calculer , , .

[BioBen]

Pour la première question on doit donc avoir = a² + b² + c² + d² ? J'ai compris ca comme ca et j'ai trouvé (jespere ne aps avoir fait ca un peu trop vite) :

quelles doivent être les propriétés des différents produits possible comme ik ,ij etc...pour cela.

1*i = i*1
1*j = j*1
1*k = k*1

i*j = - j*i donc i*j = k (donné) mais j*i = -k
i*k = - k*i alors j*i*k = -k² = -j² donc i*k = -j et donc k*i = j
j*k = - k*j de même i*j*k = k² = i² donc j*k = i et donc k*j = -i

Oulah ces derniers trucs là je me suis enmelé sur mon bout de papier au début ca avait aucun sens, mais là ca m'a l'air cohérent...

PS : ca fait du bien d'enfin utiliser des quaternions J'en avais déja entendu parler mais jamais vu

PS2 = J'ai pas mis tout le développement mais pour ceux que ca interesse bah vous faites le dévellopement, y'a un peu tout qui se regroupe et les 4 carré sortent, y'a plus qu'à étudier quand est ce que tout le paquet restant vaut zéro.

[BioBen]

Bon pour le reste :
Le Qa + Qb bah d'après ce que tu dis dans ton fil de présentation Hamilton a juste bidouiller les multiplications et pas les additions...donc c'est une addition toute bete (vlan je vais me planter là à tous les coups, mais bon j'ai l'excuse de l'heure)
=At1+Axj+Ayj+Azk et =Bt1+Bxj+Byj+Bzk
Donc
=1(At+Bt) + j(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)

Et puis les multiplactions je laisse pour demain sauf si y'en a qui ont le courage entre temps (faites gaffe aux signes quand même !)

PS : mtheory les balises [b] avec du TeX c'est GALERRRRRRRRRREEE surtout à 1h36 du mat. Bon j'arrete jvais me coucher.

[mtheory]

Envoyé par BioBen

Pour la première question on doit donc avoir = a² + b² + c² + d² ? J'ai compris ca comme ca et j'ai trouvé (jespere ne aps avoir fait ca un peu trop vite) :

Non ,c'est bien ça!

1*i = i*1
1*j = j*1
1*k = k*1

i*j = - j*i donc i*j = k (donné) mais j*i = -k
i*k = - k*i alors j*i*k = -k² = -j² donc i*k = -j et donc k*i = j
j*k = - k*j de même i*j*k = k² = i² donc j*k = i et donc k*j = -i

Félicitations,ça me semble correct:
Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?
Du genre:
_____1___i___j___k

1/ ___1___i

i/ ___i___-1

j/

k/

[mtheory]

Envoyé par BioBen

PS : mtheory les balises [b] avec du TeX c'est GALERRRRRRRRRREEE

Oui, je sais , en plus hier soir j'ai eu deux coupures et j'ai donc dû refaire le texte plusieurs fois.Je te conseil de faire des copier/coller des passages avec balise qui sont déjà dans les posts

[matthias]

Envoyé par mtheory

Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?
Du genre:
_____1___i___j___k

1/ ___1___i

i/ ___i___-1

j/

k/

genre ça :



?

[mtheory]

Envoyé par matthias

genre ça :



?

Tout à fait MERCI!

[BioBen]

Je te conseil de faire des copier/coller des passages avec balise qui sont déjà dans les posts

Tu penses bien que j'ai eu l'idée de le faire après ! Non mais quoi j'allais pas tout rééecrire quand même !
Moi les plantages viennet du fait que j'ai le bouton Retour sur la souris et parfois je clique involontairement et hop, tout disparait. Enfin mainteant je prends l'habitude de copier mon message régulièrement.

Quelqu'un pourraît-il faire un tableau de tout ça?

Oui désolé j'avais vu que tu demandais un tableau mais bon j'avais aps vraiment le courage et je savais pas comment le faire en TeX (et j'aillais la flemme d'aller chercher les balises à mettre), j'ai essayé de la faire le plus clairement possible
Merci matthias.


L'addition est bonne ? (message #3)
Personne a eu le courage de faire les multiplications ?? Bon bah je m'y colle plus tard dès que j'ai un peu révisé mes examens.

[BioBen]

Qa * Qb

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

[doryphore]

Oui l'addition est bonne mais je me demande si Mtheory ne voulait pas plutôt dire:

[doryphore]

Envoyé par BioBen

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

Tout à fait d'accord...

[BioBen]

je me demande si Mtheory ne voulait pas plutôt dire:

Oui je crois qu'il voulait dire ca .... J'ai réécris son erreur puisque j'ai copié son message pour avoir les balises à disposition .
Enfin bref ca change juste le premier j en i, pas de quoi en faire un drame J'avais compris le principe, et puis bon l'addition ca a pas l'air d'être la chose la plus cimpliquée avec les quaternions.

Tout à fait d'accord...

Ouf avec mon stylo qui écrit à moitié j'avais peur de prendre les z pour des t en recopiant. Thanks.

[BioBen]

BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

J'espere que c'est bon et j'attends la suite

[matthias]

Envoyé par BioBen

AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AzBz + AxBy + AzBt - AyBx]

Envoyé par doryphore

Tout à fait d'accord...

Envoyé par BioBen

Ouf avec mon stylo qui écrit à moitié j'avais peur de prendre les z pour des t en recopiant. Thanks.

Et d'ailleurs, dans la dernière ligne il faut remplacer AzBz par AtBz

[BioBen]

Et d'ailleurs, dans la dernière ligne il faut remplacer AzBz par AtBz

Oui j'ai revu mes feuilles et c'est bien un t et non un z.
Et puis c'est logique vu qu'il y a le AzBt y'a forcément aussi le AtBz...et puis en plus sinon ca fait un Az de trop et il manquerait un At.

Bref, je me comprends
-----------------------------

Je récapitule tout :



=At1+Axi+Ayj+Azk et =Bt1+Bxi+Byj+Bzk
Donc
=1(At+Bt) + i(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)


AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AtBz + AxBy + AzBt - AyBx]


BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

[mtheory]

Envoyé par BioBen

Oui j'ai revu mes feuilles et c'est bien un t et non un z.
Et puis c'est logique vu qu'il y a le AzBt y'a forcément aussi le AtBz...et puis en plus sinon ca fait un Az de trop et il manquerait un At.

Bref, je me comprends
-----------------------------

Je récapitule tout :



=At1+Axi+Ayj+Azk et =Bt1+Bxi+Byj+Bzk
Donc
=1(At+Bt) + i(Ax+Bx) + j(Ay + By)+k(Az + Bz)


AtBt - AxBx - AyBy - AzBz
+ i [AtBx + AxBt + AyBz - AzBy]
+ j [ AtBy + AyBt + AzBx - AxBz]
+ k [ AtBz + AxBy + AzBt - AyBx]


BtAt - BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ BtAx + BxAt + ByAz - BzAy]
+ j [ BtAy + ByAt + BzAx - BxAz]
+ k [ BtAz + BzAt + BxAy - ByAx]

Bonjour ,j'ai réussi à me trouver une connexion temporaire(suis en déplacement).
Bravo!Et merci à tout le monde ,notamment pour avoir corriger mon erreur

On voit donc bien que la multiplication de deux quaternions n'est pas commutative.
Histoire de voir si on peut retomber sur des choses connues ,je rappelle que les quaternions sont en partie à l'origine des vecteurs et du calcul vectoriel, posez Bt=At=0, regardez ce qui se passe et commentez.

[BioBen]

posez Bt=At=0, regardez ce qui se passe

Tu aurais pu le dire avant ca m'aurait évité des calculs

- AxBx - AyBy - AzBz
+ i [ AyBz - AzBy]
+ j [ AzBx - AxBz]
+ k [ AxBy - AyBx]


- BxAx - ByAy - BzAz
+ i [ ByAz - BzAy]
+ j [ BzAx - BxAz]
+ k [ BxAy - ByAx]

Je remarque...que la partie sur i de l'un est l'opposée de l'autre, tout comme sur j et k.
Ca indiquerait une rotation dans l'esapce ?
La première partie ("réelle") joue quel role ? (parce que là c'est la même)
Les quaternions se mettent sous forme exponentielle comme les complexes ? Le module est où (racine de {reelle² + "partie en i"² + "partie en j"² + "partie en k"²} ?)

[matthias]

En posant:

on peut faire intervenir le produit scalaire et le produit vectoriel de ces vecteurs.