Le repère de Frenet

kron · 12/06/2005, 17h58

Bonjour !
Le bac de physique approche, et une question se profile à l'horizon...
Dans le cadre des lois de Kepler simplifiées (en assimilant les orbites à des cercles) en Terminale S on a appris ce qu'était un repère de Frenet, mais aucune indication quant à son utilité, ses applications.
Est-ce que vous pouvez m'aider à éclaircir un peu ?
Merci d'avance.

Cordialement,

Kron

Alload · 12/06/2005, 18h00

Ca sert pour tous les mouvements plans, surtout dans des champs électromagnétiques statiques en terminale en fait et pour des mouvements circulaires.

kron · 12/06/2005, 18h06

Euh... oui merci, mais concrètement ?
Je m'explique. En cours mon professeur s'est contentée de nous décrire le principe du repère. Et après, rien. Niet. Nichts. Pas même un exo pour nous montrer l'interêt.
J'aimerais donc savoir dans quelle mesure ce repère nous est utile ? Quand ? Comment ?

Merci.

Kron

**BioBen** · 12/06/2005, 18h10

http://forums.futura-sciences.com/thread36492.html
Message 3 deJulien.

Bah concrêtement ca sert juste à te simplfieir les calculs quand tu te mets dans cette base là poru étudier certains mouvements. C'est pour ca qu'on a inventé les coorodonées polaires, cylindriques, sphériques en plus des cartésiennes : certains types d'exos se resolvent en quelques ligne dans un repère et sont bien plus long dans un autre, mais bon tu arrives toujuours au même résultat t'inquiete.

Bah ca sert dès que tu as une trajectoire [localement] ciculaire.
Par exemple si tu veux étudier un manège qui fait un looping bah tu peux determiner plein de trucs et notamment comment faire pour que les passagers ne tombent pas quand ils ont la tête en bas.

planck · 12/06/2005, 18h33

dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme, on sait que l'accéleration est centripète: radiale et dirigée vers le centre, et qu'elle a pour valeur v^2/r, avec r rayon de la trajectoire.

en établissant l'accéleration dans le cas d'une planète (2e loi de newton et force de gravitation) il t'es possible de determiner la vitesse puisque tu dis que l'acceleration vaut v^2/r.

et tu peux même, par la suite, démontrer la 3e loi de kepler (T^2/a^3=cste)

voilà ce à quoi sert, en terminale, frénet....

baryon · 12/06/2005, 18h40

Notre prof nous a expliqué un peu l'intérêt de la base de frenet: au niveau mathématique lorsque tu veux étudier les variation d'une courbe tu remplace cette courbe localement par sa tangente (tu dérive quoi!). Et Frenet lui remplace la courbe localement par un cercle, ce cercle est tangent à la courbe. Et pour beaucoup de situation ça peut te simplifier la vie de trvailler sur ce cercle, y a cas essayer démontrer que les mouvement sont circulaire sans Frenet pour s'en rendre compte.
Vous allez me corriger si je me trompe, c'est ça qu'on appelle le cercle interpolateur non? (je me rappelle d'un bouqin de math tout à coup qui en parlait, et ça me fait penser à la base de Frenet)

baryon · 12/06/2005, 18h42

Citation:

Envoyé par planck

et tu peux même, par la suite, démontrer la 3e loi de kepler (T^2/a^3=cste)

Comment tu fais??

**BioBen** · 12/06/2005, 18h56

Citation:

cercle interpolateur

Moi j'ai que entendu parler du plan osculateur ...

Citation:

Comment tu fais??

En Terminale si je me rappelle bien faut un peu bidouiller les équations et ca sort assez vite.

planck · 12/06/2005, 19h11

bah c'est assez rapide...

bon aller c'est parti pour toute la démo depuis le début (ça me fera réviser en plus

) mais rapide quand même

dans le cas d'une planete, elle est attirée par le soleil (oui, oui...), la force est $F=G.\frac{Ms.Mp}{d^2}$ .
Ms masse soleil, Mp masse planète
avec newton, on en déduit l'accéleration (bon d'un point de vue vectoriel, tout s'arrange bien si on fait attention...)

$a.Mp=\frac{G.Ms.Mp}{d^2}$ donc $a=\frac{G.Ms}{d^2}$

le mouvement est circulaire uniforme: supposé circulaire, uniforme car le travail de la seule force considérée (attraction universelle) est toujours perpendiculaire au déplacement, donc d'après le théorème de l'énergie cinétique $\delta Ec = W(F) = 0$ , donc la variation de la vitesse est nulle (pas de changement de masse

)

donc l'accélération est $a = \frac{v^2}{d}$ , et finalement
$a=\frac{v^2}{d}=\frac{G.Ms}{d^ 2}$ donc $v=\sqrt{\frac{G.Ms}{d}}$

tu as bien appris tes formules de Cm1, tu sais que le périmètre d'un cercle, c'est $2.\pi.r$ , donc la vitesse de la planète c'est v = distance/temps, donc ici $\frac{2\pi.d}{T}=\sqrt{\frac{G .Ms}{d}}$

on élève au carré, et on obtient: $\frac{4\pi^2.d^2}{T^2}=\frac{G .Ms}{d}$
avec d=a (oui, démonstration pour les mouvements circulaires...)
$\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{ G.Ms}$ =cste...

voilà! vous voyez c'était rapide!

et mes premiers pas en LaTex!! (d'où le delta minuscule d'ailleurs... les majuscules, on fait ça comment?!)

**BioBen** · 12/06/2005, 19h16

Attention tu mélanges un peu toutes les accélrations, un coup elle est nulle ("donc la variation de la vitesse est nulle") et tout de suite après elle vaut v²/d. Attention à bien préciser de quoi tu parles !

Gwyddon · 12/06/2005, 19h49

Le $\Delta$ c'est avec \Delta

Comme le dit Ben, précise bien que v'=0 parce que l'accélération est normale, donc l'accélération tangentielle dans Fresnet est nulle, et justement l'accélération tangentielle c'est $*\displaystyle \frac{dv}{dt}$

planck · 12/06/2005, 19h52

écoutez hein, je me comprends!!!

(bon d'accord, c'est de la mauvaise foi

je ferai plus attention la prochaine fois, promis; en même temps, j'avais prévenu que ce serait rapide!)

baryon · 12/06/2005, 20h20

merci planck. En fait je l'avais déjà vu en cours mais je n'ai pensé à démontrer la formule de Kepler, ça me met en forme pour mercredi en tout cas

.
Bonne soirée

kron · 12/06/2005, 21h11

Waa avec tout ça, ça devient rapidement plus clair.
Au moins je me ferai pas surprendre mercredi si par hasard ontombe dessus.
Merci beaucoup !

Kron

adrislas · 06/07/2005, 14h56

euh à ce propos, moi, avec ma prof qui se permet de louper 15 cours l'année, j'ai pas vu ce qu'était le repère de Fresnet ( et j'ai réussi à m'en sortir au bac de physique malgré tout ), quelqu'un connaitrait un site où c'est bien expliqué ?

Sir_Alex · 06/07/2005, 18h30

Ma définition du repère de Frenet est la suivante :

Soit un point mobile M décrivant une trajectoire dans un repère fixe. On appelle repère de Frenet le repère local M,t,n tel que t est le vecteur unitaire tangent à la trajectoire en M dans le sens du déplacement de M et n le vecteur unitaire tel que (t,n) soit une base orthonormée directe.

adrislas · 06/07/2005, 18h52

merci de ta réponse, j'y réfléchirai plus tard car je sors, mais dis moi, la trajectoire doit-elle être nécessairement circulaire pour parler de repère de Fresnet ?

zoup1 · 06/07/2005, 19h02

On peut définir un repère de Frenet pour une trajectoire quelconque. D'ailleurs la définition qu'en donne Sir_Alex ne parle pas de trajectoire circulaire du tout.
Pour une trajectoire circulaire on préfère parler d'un repère radial et orthoradial qui alors coincide avec le repère de Frenet (ou presque).

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