lim (sin (x)/x)

Bonjour, ayant reçu aujourd'hui une ti-89, je m'émerveille de ses capacités, mais je constate bien vite que le calcul ne remplace pas la démonstration.

Ainsi, je voulais savoir par quel moyen on peut trouver que lim (sin(x)/x) quand x tend vers 0 égale 1.

En vous remerciant

Avec le théorème de l'hospital c'est tout bête, tu dérives numérateur et dénominateur et ça devient lim_{x \to 0} cos(x) = 1


Ce théorème est une perle... :S:
Il n'empêche que l'on peut y arriver par un autre moyen, me souvient plus comment, vais essayer de retrouver la démo dans mes notes ...

Salut,

Tu peux toiut simplement utiliser le développement limité de sinu en0:
sin x = x -x^3/3 +x^5/25 +...
Remarque: le premier terme suffit

Plus simple : cette limite est le nombre dérivé de la fonction sinus en 0, car ta limite est égale à : lim[sin(x+0) - sin0]/x lorsque x tend vers 0. C'est donc égal à cos(0) soit 1.

Salut,
Tu peux tout simplement voir que \frac{sin(x)}{x}=\frac{sin(x)-sin(0)}{x-0}...

EDIT Grillé par Benoît86 !

Le théorème de l'hospital est-il TOUJOURS applicable, quand un a une fraction ?

ah oui, la méthode avec le nombre dérivé est très simple en effet. Merci. Par contre, le théorème de L'Hospital, bleyblue, et ta méthode, Gothal, je n'ai jamais vu ça donc je n'ai pas compris

gothal, je viens de voir ça dans le manuel de ma calculatrice, ça s'appelle pas développement de Taylor ? J'ai juste remarqué que c'était une suite de nombre à la puissance n, divisé par n, mais après ça....

L'Hospital n'est applicable qu'en cas d'indéterminations du type 0/0 ou infini/infini.

Bonjour,
ce theoreme a l'air pas mal, vous pourriez m'en donner un enoncé precis svp?
Merci d'avance

- http://www.bibmath.net/dico/index.php3?action=affiche&quoi=./h/hospital.html

- http://serge.mehl.free.fr/chrono/Lhospital.html

d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!
Merci en tout cas

d'accord merci. Je pense que ca peut etre utile pour trouver le resultat avant de le demontrer proprement, dans des questions du genre "quelle est la limite de ..." quand on n'a pas de calculatrice!
Il s'agit d'un théorème, donc bien utilisé, il donne une démonstration rigoureuse.
Ceci-dit, on a vite tendance à le remplacer avantageusment par des developpements limités.

je suis en mpsi (plus pour longtemps, vive les vacances) et je ne me risquerai pas a citer un theoreme qui n'est pas dans le cours. en plus c'est tellement marrant les dl. A part que les erreurs de calcul plombent souvent les resultats...

Bizarre, ca se faisait en MPSI quand j'y étais.
C'est pas tellement compliqué à montrer en plus.
A+

ce théorème est bien sympathique, ma foi, mais d'où découle t-il que lim f/g = lim f'/g' N

car ces deux fonctions ne sont pas égales, ça va de soi, et la dérivée de f/g n'est pas égale à f'/g', donc je ne vois pas ce que représente f'/g' et d'où L'Hospital a déduit cette charmante propriété

C'est un corollaire du théorème de Rolle.
Fais une petite recherche sur le net, tu trouveras ton bonheur.
A+

bah j'ai trouvé le théorème de Rolle, bah bien compliqué, et je ne fais pas de lien direct et évident

Je n'aime pas l'Hospital parce que la plupart des étudiants ne savent pas comment rédiger l'emploi de ce théorème - on trouve souvent la limite du rapport f/g, puis = lim f'/g' juste au dessous avec un "par Bernoulli - l'Hospital" alors qu'il faut vérifier que la limite du rapport des dérivées existe avant de pouvoir dire qu'il y a égalité.

La solution d'exprimer sinx/x comme (sinx - sin0)/(x-0) est très élégante :)

Salut,

pour ma part, j'aime bien cette démonstration géométrique: elle repose simplement sur le fait que la longueur de l'arc PM est plus grande que celle du segment [HM] et plus petite que celle du segment [PN] (voir figure attachée).

En d'autres termes, pour un angle x dans le premier quadrant, \sin x\leq x\leq tan x et l'on en tire les inégalités \frac{\sin x}{x}\leq 1 et \frac{\sin x}{x}\geq \cos x.

Cordialement.