[Lycée] Démontrer qu'une suite est croissante.

[MalikaJ]

Bonjour,

Je suis bloquée dans un excercice, sur les suites.



Voici l'énoncé :

Pour tout n non nul :
Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
Vn = U2n - Un
Démontrer que la suite (Vn) est croissante



Voici mon raisonnement :

Un = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
Un+1 = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + 1/(n+1)
Un+1 - Un = 1/(n+1)

U2n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... + 1/2n
U2(n+1) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n + ... + 1/2n + 1/(2n+1) + 1/(2n+2)
U2n+2 - U2n = 1/(2n+1) + 1/(2n+2)

Vn+1 - Vn = U2n+2 - Un+1 - (U2n - Un)
Vn+1 - Vn = U2n+2 - Un+1 - U2n + Un
Vn+1 - Vn = (U2n+2 - U2n) - (Un+1 - Un)
Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)



Seulement, en traçant la fonction associée sur la calculette, je n'ai pas l'impression que c'est croissant sur [0 ; +infini[
Je dois avoir fait une erreur de calcul.

Sinon, suis je bien partie ?
Une fois que j'aurai trouvé Vn+1 - Vn (car visiblement, je dois m'etre trompée ici), comment prouver que la suite est croissante ?


Merci de m'avoir lu.
J'espère que vous pourrez me donner un coup de main, car je sèche vraiment.

[evariste_galois]

Salut,

Dans la dernière expression Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1), il suffit de remarquer de 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2) .

Bonne continuation.

[GuYem]

Envoyé par evariste_galois

Salut,

Dans la dernière expression Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1), il suffit de remarquer de 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2) .

Bonne continuation.

J'ai comme l'impression que t'es un peu à coté de la plaque ou alors c'est qu'il se fait tard?

Malika pour montrer que V_n est croissante il faut regarder V_n+1 - V_n, comme tu l'as trés bien fait et montrer que c'est positif.


Aprés reflexion, evariste n'est pas à coté de la plaque, mais pile dessus.

[MalikaJ]

Donc vous etes d'accord pour le resultat que j'ai trouvé pour Vn+1 - Vn ?


Donc en suivant les conseils d'evariste_galois, ça donne :

Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(n+1)

et 1/(n+1)=1/(2n+2)+1/(2n+2)

Donc Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) + 1/(2n+2) - 1/(2n+2) - 1/(2n+2)
Donc Vn+1 - Vn = 1/(2n+1) - 1/(2n+2)


[Et ensuite, pour montrer que c'est croissant, j'applique les conseils de GuYem :]

n est un entier naturel non nul,
donc n > 0

donc :
2n+1 > 0 d'ou 1/(2n+1) > 0
2n+2 > 0 d'ou 1/(2n+2) > 0

et 2n+1 < 2n+2
donc 1/(2n+1) > 1/(2n+2)
donc 1/(2n+1) - 1/(2n+2) > 0

Donc Vn+1 - Vn > 0
Donc la suite Vn est croissante.


C'est bon ?
J'ai correctement justifié ?

[GuYem]

Oui c'est tout bon. Tu as plus que correctement justifié, tu as superbement justifié!

A l'avenir il faudra essayer d'aller un peu plus vite sinon tu risques d'être prise par le temps, en devoir par exemple.