tables de multiplications et symétries

[mach3]

Bonjour,

J'ai remarqué ça par hasard, mais une table de multiplication est munie de propriétés de symétries étonnantes, il y a bien entendu la symétrie par rapport à la diagonale des carrés, qui elle est parfaitement triviale, mais aussi une symétrie selon l'autre diagonale (passant par le carré de la moitié de la base considérée : 25 pour une table en base 10, ou h40 pour une table en base 16) concernant uniquement le chiffre des unités.

voici pour exemple les chiffres des unités des nombres d'une table de multiplication en base 10, avec les axes de symétrie en gras.

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1

Y-a-t-il ici un grand chef matheux qui saurait me dire d'où ces propriétés de symétries sortent (pour la diagonale des carrés, c'est la commutativité de la multiplication, mais pour l'autre?) ?

m@ch3

[Michel (mmy)]

(b-i)i = bi - i² = -i² modulo b

et -(b-i)² = -i² modulo b

Cordialement,

[mach3]

oula!, merci, mais peux-tu expliciter un peu mieux ta réponse? c'est quoi b et i?

m@ch3

[Moma]

salut,

dans ce calcul b doit être la base, et i le chiffre des unités.


Amicalement
Moma

[Michel (mmy)]

Bonjour,

Le tableau peut se noter m(i, j) = ij modulo b, b étant la base de numérotation (ici b=10), cela revient au même que de dire "le dernier chiffre".

La symétrie selon la diagonale usuelle exprime la commutativité m(i, j) = m(j, i).

La symétrie selon l'autre diagonale exprime que

m(i, k-i) = m(k-i, i)

ce qui est aussi la commutativité

La symétrie centrale (prendre la case opposée par rapport au 5 central

m(b-i, b-j) = m(i, j)

se montre comme suit

(b-i)(b-j) = b²-(i+j)b+ij = ij modulo b

Les formules que je donnaient correspondaient aux chiffres sur les daigonales mêmes. La symétrie centrale est générale. Deux exemples:

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1


Cordialement,

[Michel (mmy)]

Tout compris, tout va par 4 (rectagle centré sur le 5 central) sauf le centre et les diagonales...

1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 6 8 0 2 4 6 8
3 6 9 2 5 8 1 4 7
4 8 2 6 0 4 8 2 6
5 0 5 0 5 0 5 0 5
6 2 8 4 0 6 2 8 4
7 4 1 8 5 2 9 6 3
8 6 4 2 0 8 6 4 2
9 8 7 6 5 4 3 2 1