[Maths] [L1] Anneaux - Forum Exercices pour les concours et examens

**doryphore** · 26/10/2005, 20h45

Soit A un anneau unitaire dont l'élément neutre pour la loi . est noté 1.

1) Soit $x \in A$ nilpotent. Montrer que $1-x$ est inversible.

2)Si $n \in \mathbb{N}^*$ et x nilpotent, simplifier l'expression

$U_n=(1+x)(1+x^2)...(1+x^{2^n}) =\prod_{k=0}^n (1+x^{2^k})$ .

AriesSith · 26/10/2005, 22h03

Je souhaite répondre à la question 1 ...

Si x est nilpotent, j'appelle alors n $\in \mathbb{N}*$ tel que $\forall k\geq n$ , $x^k$ =1.

Or, $1 - x^n = (1 - x)(x^{n-1} + ..... + 1)$
Il s'ensuit que $1 = (1 - x)(x^{n-1} + ..... + 1)$

$(x^{n-1} + ..... + 1) \in A$ puisque A est un anneau.

On en conclut que 1 - x est inversible dans A.

**doryphore** · 26/10/2005, 22h48

Attention, un élément x d'un anneau est dit nilpotent s'il existe un exposant p pour lequel $x^p=0$ , l'élément neutre de la loi "additive" et non pas 1, l'élément neutre de la loi "multiplicative".

Attention aussi au fait que l'anneau n'est pas a priori commutatif, donc tu n'as pas vraiment démontré l'inversibilité...

AriesSith · 26/10/2005, 23h11

J'ai utilisé, dans ma démonstration, le fait que $x^n$ =0 ... j'ai fait une cocquille en tappant sur mon clavier à la première ligne

Ensuite j'utilise l'associativité de . pour justifier que $1 - x^n = (1 - x)(x^{n-1} + ..... + 1)$ et non la commutativité .

Il est vrai que ma démonstration n'est pas très rigoureuse ... je vais tâcher d'en trouver une autre ...

**doryphore** · 26/10/2005, 23h18

Non, c'est très bien, seulement tu n'as pas vraiment montré l'inversibilité, je rappelle la définition de l'inversibilité:

Un élément x d'un magma associatif unitaire (E,*) est dit inversible s'il existe un élément y de E tel que: x*y=y*x=e où e est l'élément neutre de (E,*).

Tu comprendras mieux pourquoi, je parle de commutativité...

AriesSith · 27/10/2005, 00h00

Si j'ai bien compris, ce qui manque dans ma démonstration c'est que
$1 - x^n = (x^{n-1} + ..... + 1)(1 - x)$ ce qui se justifie par le fait que . est associative et distribue l'addition.

**doryphore** · 27/10/2005, 00h05

C'est exact...et ce sont bien la distributivité et l'associativité qui permettent de justifier les identités remarquables dans un anneau.

La commutativité t'aurais permis de t'épargner d'écrire l'inversibilité à gauche, mais en L1, on commence à étudier des anneaux non commutatifs (Matrices) donc j'en profite pour en parler...

AriesSith · 27/10/2005, 00h12

Merci pour cette correction !

j'ai une question un peu bête mais que signifie L1 ?

g_h · 27/10/2005, 00h24

Salut,

Ca veut dire "1ère année de licence"

AriesSith · 27/10/2005, 01h08

Merci pour cette précision ...

kayash · 13/11/2005, 18h57

est que vous pouvez m'expliquer les anneaux

**doryphore** · 13/11/2005, 19h31

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