[Maths] [L1] Espaces compacts - Forum Exercices pour les concours et examens

**doryphore** · 26/10/2005, 20h58

1/
a) Soient (E,d) et (F, $\delta$ ) deux espace métriques et
f : E -> F une applivcation continue telle que pour tout compact K de F, $f^{-1}(K)$ est compact.
Montrer que f est une application fermée.

b) Existe-t-il des applications continues non fermées ?

2/Conséquences
On fixe un entier naturel non nul n et on note
$\mathbb{R}_n[X]=\{P \in \mathbb{R}[X] | deg(P) \leq n\}$

Montrer que l'ensemble $\Gamma_n$ des polynômes unitaires de degré n de $\mathbb{R}_n[X]$ dont toutes les racines sont réelles est un fermé du $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $\mathbb{R}_n[X]$ .

Ithilian_bzh · 27/10/2005, 17h04

Exercice intéressant ! Merci ! J'en laisse d'autres répondre pour la solution, n'ayant pas eu de problème particulier...

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