[Maths] [TS] Équations différentielles 2 - Forum Exercices pour les concours et examens

**doryphore** · 26/10/2005, 22h57

Dans chacun des cas suivants, résoudre l'équation différentielle:

$y^'=\frac{3}{2}y \\ -y^'+y=0 \\ 7y^'+8y=0$

**benjy_star** · 27/10/2005, 12h29

C'est gentil de commencer simple !

$y' = \frac{3}{2}y$

2quation différencielle du premier ordre à coefficients constants et sans seconde membre, pas de conditions initiales donc :

$y(t) = \lambda e^{\frac{3}{2} t}$

**benjy_star** · 27/10/2005, 12h31

-y' + y = 0 <==> y' - y = 0

Pour les mêmes raisons que précédemment : $y(t) = \lambda e^{t}$

**benjy_star** · 27/10/2005, 12h34

7y' + 8y = 0 <==> $y' = -\frac{8}{7} y$

Idem pour le type d'équation. d'où :

$y(t) = \lambda e^{-\frac{8}{7} t}$

AriesSith · 27/10/2005, 13h20

Juste une petite précision :

$\lambda \in \mathbb{R}*$ ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

g_h · 27/10/2005, 13h29

Citation:

Envoyé par AriesSith

Juste une petite précision :

$\lambda \in \mathbb{R}*$ ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?
La méthode de résolution est une méthode générale, pas besoin de la "dégénéraliser"

AriesSith · 27/10/2005, 13h40

Citation:

Ca n'apporte pas grand chose de dissocier les cas, non ?

Ca apporte juste que tu oublies un cas trivial ... Je n'ai pas dit que ça changeait ton résultat.

iwio · 27/10/2005, 14h34

Citation:

Envoyé par AriesSith

on suppose y non nulle par la suite etc ..

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)
$\frac{y'}{y} = 3/2$

$ln(y) = \frac{3x}{2} + k$

=> $y(x) = Ke^{\frac{3x}{2}}$

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

AriesSith · 27/10/2005, 15h07

Citation:

Envoyé par iwio

Il faut supposer y non nul, car : (on divise par y des deux côtés)
$\frac{y'}{y} = 3/2$

$ln(y) = \frac{3x}{2} + k$

=> $y(x) = Ke^{\frac{3x}{2}}$

Mais je crois que ceci n'est pas une démonstration (je crois me souvenir que mon prof de math nous avait dis ça).

Atention à ce que tu écris !
$ln(|y|) = \frac{3x}{2} + k$ Car rien n'est dit quant au signe de y !

De plus, ce n'est effectivement pas une démonstration !

AriesSith · 27/10/2005, 15h33

Voici un exemple recherche des solutions de l'équation différentielle y' = ay (E):

Déja, les application nulles et $x \mapsto \lambda e^{ax}$ sont eds solutions de (E)

Pour toute application dérivable sur un intervalle I, il existe une unique fonction z définie sur I telle que sur I on ait y(x) = z(x) $e^{ax}$ (il suffit de prendre z(x) = y(x) $e^{-ax}$ )

"y solution de (E)" $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in I$ , $e^{ax}(z'(x) + az(x)) = az(x)e^{ax}$
$\Longleftrightarrow$ $\forall x \in I$ , $z'(x) = 0$
$\Longleftrightarrow$ $\exist \lambda \in \mathbb{R}$ , $\forall x \in I$ , $z(x) = \lambda$

Finalement, les solutions sont les fonctions $x \mapsto \lambda e^{ax}$

**doryphore** · 28/10/2005, 00h02

Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles.
Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ .

Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables.

Ainsi au lieu d'écrire la solution est $y(t)=\lambda e^{\frac{3}{2}t}$ , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est $\{\lambda e^{\frac{1}{2}t} ,\lambda\in\mathbb{R} \}$ .

Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions...

Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité:
On constate d'une part que les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $\lambda e^{a.t},\lambda \in \mathbb{R}$ sont solutions de l'équation.
Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction $z(t)=e^{-a.t}.y(t)$ : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie.

**doryphore** · 28/10/2005, 21h15

Citation:

Envoyé par doryphore

Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles.
Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ .

Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables.

Ainsi au lieu d'écrire la solution est $y(t)=\lambda e^{\frac{3}{2}t}$ , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est $\{\lambda e^{\frac{1}{2}t} ,\lambda\in\mathbb{R} \}$ .

Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions...

Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité:
On constate d'une part que les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $\lambda e^{a.t},\lambda \in \mathbb{R}$ sont solutions de l'équation.
Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction $z(t)=e^{-a.t}.y(t)$ : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie.

Tiens, j'aurais mieux fait de lire jusqu'au bout le message d'AeriesSith, ça m'aurait fait gagner du temps...

**doryphore** · 28/10/2005, 21h20

Résoudre les équations différentielles suivantes.

$y^'+2y=3\\y^'-5=y\\3y^'-2y+1=0\\ \sqrt{2}.y^'=2y-4\\y^'=100(y-3)\\y^'=0,1(100_y)\\y^'=2005(8-5y)$

**benjy_star** · 28/10/2005, 21h28

Donc j'avais juste dans quelle mesure ?

**doryphore** · 28/10/2005, 21h36

Difficile à évaluer, ça dépend des sous-entendus de ta réponse...

Il était indispensable de préciser l'intervalle de définition car les solutions des équations différentielles sont des fonctions et qu'une fonction est la donnée d'un ensemble de départ, d'arrivée et d'une correspondance.

Ensuite, il faut biien avoir à l'esprit qu'il y a une infinité de solutions à cette équation donc il faut bien faire décrire tous l'ensemble des réels à ton paramètre lambda...

**benjy_star** · 28/10/2005, 21h52

D'accord, d'accord, je vais essayer d'être plus rigoureux, dur pour moi, mais la rigueur des maths me fera du bien remarque...

Alors je vais commencer par la première avant de faire les suivantes (en bleu mes doutes) :

Citation:

y' + 2y = 3

Equation différentielle du premier degré à coefficients constants et avec second membre, pas de conditions initiales.

La solution générale de cette équation est la somme de l'équation homogène et d'une solution particulière. y(t) est définit pour tout t.

Solution homogène : $\lambda e^{-2t}$ pour $\lambda$ appartient à R et pour tout t.

Solution particulière : y = 3/2

Et on somme...

**doryphore** · 28/10/2005, 22h02

Citation:

Envoyé par benjy_star

D'accord, d'accord, je vais essayer d'être plus rigoureux, dur pour moi, mais la rigueur des maths me fera du bien remarque...

Alors je vais commencer par la première avant de faire les suivantes (en bleu mes doutes) :

Equation différentielle du premier degré à coefficients constants et avec second membre, pas de conditions initiales.

La solution générale de cette équation est la somme de l'équation homogène et d'une solution particulière. y(t) est définit pour tout t.

Solution homogène : $\lambda e^{-2t}$ pour $\lambda$ appartient à R et pour tout t.

Solution particulière : y = 3/2

Et on somme...

Alors, le plus important:
"Quand tu dis pour tout t, cela veut implicitement dire que t appartient à R. Explique-moi comment tu comprends la différence entre $\lambda$ appartient à R d'une part et t appartient à R d'autre part...

Ensuite les détails: on parle plutôt d'ordre que de degré pour les équations différentielles.
Ne pas oublier de préciser que ce sont des équations linéaires...

**benjy_star** · 28/10/2005, 22h15

Citation:

Envoyé par doryphore

Alors, le plus important:
"Quand tu dis pour tout t, cela veut implicitement dire que t appartient à R. Explique-moi comment tu comprends la différence entre $\lambda$ appartient à R d'une part et t appartient à R d'autre part...

heu... A vrai dire, je ne vois pas de différence, il y en a une ? Ils sont tout les deux des nombres qui appartiennent à R, t variable et lambda constant..

Citation:

Envoyé par doryphore

Ensuite les détails: on parle plutôt d'ordre que de degré pour les équations différentielles.
Ne pas oublier de préciser que ce sont des équations linéaires...

oki oki, l'ORDRE ! Sinon, linéaires, parce que ce sont des puissances entières ? Ici 1..? je veux dire, c'est pas :

$\sqrt{y'} + 3y^{3/2}...$

26/10/2005, 22h57	#1
doryphore Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30 Messages: 1 845	[Maths] [TS] Équations différentielles 2 Dans chacun des cas suivants, résoudre l'équation différentielle: $y^'=\frac{3}{2}y \\ -y^'+y=0 \\ 7y^'+8y=0$ __________________ "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

27/10/2005, 12h29	#2
benjy_star Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Lyon Âge: 27 Messages: 16 741	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 C'est gentil de commencer simple ! $y' = \frac{3}{2}y$ 2quation différencielle du premier ordre à coefficients constants et sans seconde membre, pas de conditions initiales donc : $y(t) = \lambda e^{\frac{3}{2} t}$

27/10/2005, 12h31	#3
benjy_star Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Lyon Âge: 27 Messages: 16 741	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 -y' + y = 0 <==> y' - y = 0 Pour les mêmes raisons que précédemment : $y(t) = \lambda e^{t}$

27/10/2005, 12h34	#4
benjy_star Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Lyon Âge: 27 Messages: 16 741	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 7y' + 8y = 0 <==> $y' = -\frac{8}{7} y$ Idem pour le type d'équation. d'où : $y(t) = \lambda e^{-\frac{8}{7} t}$

27/10/2005, 13h20	#5
AriesSith Date d'inscription: août 2005 Messages: 48	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Juste une petite précision : $\lambda \in \mathbb{R}*$ ou bien écrate les solution triviales dès le départ ... la fonction nulle est solution .. on suppose y non nulle par la suite etc ..

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27/10/2005, 15h33	#10
AriesSith Date d'inscription: août 2005 Messages: 48	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Voici un exemple recherche des solutions de l'équation différentielle y' = ay (E): Déja, les application nulles et $x \mapsto \lambda e^{ax}$ sont eds solutions de (E) Pour toute application dérivable sur un intervalle I, il existe une unique fonction z définie sur I telle que sur I on ait y(x) = z(x) $e^{ax}$ (il suffit de prendre z(x) = y(x) $e^{-ax}$ ) "y solution de (E)" $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in I$ , $e^{ax}(z'(x) + az(x)) = az(x)e^{ax}$ $\Longleftrightarrow$ $\forall x \in I$ , $z'(x) = 0$ $\Longleftrightarrow$ $\exist \lambda \in \mathbb{R}$ , $\forall x \in I$ , $z(x) = \lambda$ Finalement, les solutions sont les fonctions $x \mapsto \lambda e^{ax}$

28/10/2005, 00h02	#11
doryphore Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30 Messages: 1 845	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Quelques petites remarques sur la résolution des équations différentielles. Tout d'abord, il ne faut pas oublier de préciser l'ensemble de définition maximal des solutions: l'ensemble des solutions fait partie intégrante de la solution. Ici, c'était facile, toutes les solutions était des fonctions définies sur $\mathbb{R}$ . Ensuite, quand on précise les solutions, il est bon de distinguer les paramètres et les variables. Ainsi au lieu d'écrire la solution est $y(t)=\lambda e^{\frac{3}{2}t}$ , il vaut mieux écrire l'ensemble des solutions est $\{\lambda e^{\frac{1}{2}t} ,\lambda\in\mathbb{R} \}$ . Dans la présenation des résultats, il n'y a pas lieu de séparer la fonction nulle des autres solutions... Une démonstration de ce résultat se fait par existence et unicité: On constate d'une part que les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ de la forme $\lambda e^{a.t},\lambda \in \mathbb{R}$ sont solutions de l'équation. Ensuite, on considère y une solution quelconque et on s'intéresse à la fonction $z(t)=e^{-a.t}.y(t)$ : on constate qu'elle est dérivable et que sa dérivée est contante et on en déduit qu'elle est forcémment de la forme pressentie. __________________ "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

28/10/2005, 21h20	#13
doryphore Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30 Messages: 1 845	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Résoudre les équations différentielles suivantes. $y^'+2y=3\\y^'-5=y\\3y^'-2y+1=0\\ \sqrt{2}.y^'=2y-4\\y^'=100(y-3)\\y^'=0,1(100_y)\\y^'=2005(8-5y)$ __________________ "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

28/10/2005, 21h28	#14
benjy_star Date d'inscription: janvier 2005 Localisation: Lyon Âge: 27 Messages: 16 741	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Donc j'avais juste dans quelle mesure ?

28/10/2005, 21h36	#15
doryphore Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Compiègne (60) Âge: 30 Messages: 1 845	Re : [MATHS] [TS] Equations différentielles 2 Difficile à évaluer, ça dépend des sous-entendus de ta réponse... Il était indispensable de préciser l'intervalle de définition car les solutions des équations différentielles sont des fonctions et qu'une fonction est la donnée d'un ensemble de départ, d'arrivée et d'une correspondance. Ensuite, il faut biien avoir à l'esprit qu'il y a une infinité de solutions à cette équation donc il faut bien faire décrire tous l'ensemble des réels à ton paramètre lambda... __________________ "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

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