[Physique] [L1] Cinématique

Voici un petit exercice de cinématique pour répondre à la demande de Boobooboo...
Il est sous forme d'un fichier pdf que l'on peut trouver à cette adresse : http://zoup1.free.fr/Exo4.pdf
ou comme pièce jointe à ce message
Si le format du post pose un problème, je peux éventuellement faire un effort pour le convertir en autre chose...

Bon je m'y colle, j'ai besoin de progresser en mécanique.

I. Questions préliminaires

(a)
\large\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
\large\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}
\large\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}

(b)

\large\vec{r} = r \vec{u_r}
\large\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} - r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}
Pour a c'est un peu plus long, faut pas que je me mange une erreur en route ! :S:

\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} + r\frac{d\theta}{dt})\vec{u_r} -r(\frac{d\theta}{dt} + \frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u_ {\theta}}

Voilà pour le début...

Bon je m'y colle, j'ai besoin de progresser en mécanique.
C'est pas vraiment de la mécanique tout cela... juste un peu de math dont on a besoin pour faire de la mécanique...

I. Questions préliminaires

(a)
\large\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}
\large\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}
\large\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}
pour l'instant rien à dire.
(b)

\large\vec{r} = r \vec{u_r}
\large\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} - r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}
Pour a c'est un peu plus long, faut pas que je me mange une erreur en route ! :S:

\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} + r\frac{d\theta}{dt})\vec{u_r} -r(\frac{d\theta}{dt} + \frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u_ {\theta}}

Voilà pour le début...
Aïe, là cela coince. Pour l'expression de la vitesse déjà, on est pas très loin mais il y a un problème de signe.
peut-être est-il utile de retrouver le lien entre \vec{u_r} et \vec{u_\theta} ? Il se retrouve simplement en écrivant les coordonnées des 2 vecteurs dans la base cartésienne.
En ce qui concerne l'accélération, c'est plus embétant... Ce que tu as écris n'est pas homogène. r\frac{d\theta}{dt}\vec{u_r} a les dimensions d'une vitesse et non pas celle d'une accélération. En fait il n'y a qu'un seul des termes qui est homogène à une accélération, le prermier. Cela ne peut donc pas coller... \frac{d^2r}{dt^2}
Je pense qu'il faudrait que tu détailles précisément ce que tu fais en ce qui concerne la vitesse. On pourra sans doute voir ce qui ne va pas et l'accélération devrait par la suite aller d'elle-même.

Le pauvre Benjy-Star qui se fait gronder de partout :grrrr:

Le pauvre Benjy-Star qui se fait gronder de partout :grrrr:
Heu!!! Tu as pas bien regardé, je commence par un "pour l'instant rien à dire" ce qui, en zoup1, veut dire, c'est super chouette, t'as tout fait bon...

:cry: tout le monde dit du mal de moi...

Remarque, je cherche ! :S:

Bon, on s'est bien marré, on a bien déconné, au boulot !

Alors selon moi et après correction :

\frac{d\vec{u_r}}{dt} = +\frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}

\frac{d\vec{u_\theta}}{dt} = -\frac{d\theta}{dt} \vec{u_r}

Et on a donc pour la vitesse :

\large\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} + r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}

J'en reste là avant de passer à l'accélération.

Alors pas d'hésitation sur les qualificatifs, c'est parfait !!!
Mais as tu compris ce qui clochait dans ce que tu avais fait pour l'accélération ?

L'accélération, pas encore, je m'y mets demain, là il est tard.

Je voulais juste déjà bien poser les bases.

En tout cas, ton exercice est pile ce qu'il me faut ! :king3:

Bonne nuit alors...
L'exo était plutot pour Boobooboo... mais il ne s'est pas reconnecté depuis qu'il a fait sa demande. Je suis content qu'au moins il profite à quelqu'un..

Il faut pas que ma réponse l'empêche de le faire après tout. si j'amais il lit ce message, on peut parfaitement être plusieurs à répondre à un même exercice...

Bon, je vais tenter pour l'accélération :

\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}

Au passage : peut-on dire :

\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}

??

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt? :mad2:

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt? :mad2:
Je comprends pas tout... Un rapport avec l'exercice, ou je supprime ?

Bon, je vais tenter pour l'accélération :

\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}

Au passage : peut-on dire :

\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}

??
On y est presque sauf que le terme r\frac{d^2\theta}{dt^2} \vec{u_r} n'est pas bon. Cela devrait etre r\left ( \frac{d\theta}{dt} \right )^2\vec{u_r}

Je pense que ton erreur est liée à la question que tu poses. On ne peut pas dire \frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{dt } = \frac{dr.d\theta}{dt^2}. Cela n'a pas de sens.
De la même façon (peut-être) \frac{d\theta}{dt}. \frac{d\theta}{dt} = \left ( \frac{d\theta}{dt} \right )^2 \neq \frac{d^2\theta}{dt^2}.
Je suis pas très sûr d'être très clair... Mais pour être plus explicite, il me faudrait le détail du calcul qui te conduit au résultat érroné pour que je puisse pointé réellement du doigt, l'origine du problème.

qu'est ce qu'une force central . est ce qu'on peut fair une etude de son mvt? :mad2:
On parle de force centrale pour un champ de force tel que en un point, la force radiale (dont la direction pointe ou fuit d'un centre) et le module ne dépend que de la distance au centre.

Si on appelle O le centre et qu'on note \vec r = \vec OM = r \vec {u_r} le vecteur position par rapport au centre O. Autrement dit, on peut ecrire la force comme \vec F = F(r) \vec{u_r}. L'intérêt des forces centrales est qu'elle sont conservatives. C'est à dire que le travail de cette force entre 2 points A et B, ne dépend pas du chemin suivi entre A et B. Par conséquent on peut leur associer une énergie potentielle... Comme elles sont radiales elles conserve le moment cinétique par rapport au centre. Voilà ce qu'on peut en dire, mais cela est un autre sujet

Alors, pour l'accélération :
\vec{a} = (\frac{d^2r}{dt^2} - r(\frac{d\theta}{dt})^2)\vec{u _r} + (2\frac{dr}{dt}\frac{d\theta}{ dt} + r\frac{d^2\theta}{dt^2})\vec{u _\theta}

Pour la précision sur les carrés, c'est exactement ce que je voulais savoir !

La suite plus tard... :S:

Alors on a :

\large\vec{v} = \frac{dr}{dt} \vec{u_r} + r \frac{d\theta}{dt} \vec{u_\theta}

Soit, en appliquant ici :

\large\vec{v} = 2A\omega e^{2\omega t} \vec{u_r} + A\omega e^{2\omega t} \vec{u_\theta}

Et donc la norme :

v = \sqrt{5} A\omega e^{2\omega t}

Parfait !!!

Bon, ce que je trouve en ce qui concerne l'accélération :

\Large\vec{a} = (3A\omega^2 e^{2\omega t})\vec{u_r} + (4A\omega^2 e^{2\omega t})\vec{u_\theta}

La norme :

\large a = 5A\omega^2 e^{2\omega t}

Question :

1. Peux tu me donner un indice pour passer de la base (\vec{u_r} ; \vec{u_\theta}) à la base : (\vec{u_\tau} ; \vec{u_\nu}) ? Est-ce simple, comme de démontrer les relations entre \vec{u_r} et \vec{u_\theta} après dérivation ? S'il existe une relation "simple", dis le moi, je chercherai ! ;)

Bon, ce que je trouve en ce qui concerne l'accélération :

\Large\vec{a} = (3A\omega^2 e^{2\omega t})\vec{u_r} + (4A\omega^2 e^{2\omega t})\vec{u_\theta}

La norme :

\large a = 5A\omega^2 e^{2\omega t}
Encore bravo, tout cela est parfait...

Question :

1. Peux tu me donner un indice pour passer de la base (\vec{u_r} ; \vec{u_\theta}) à la base : (\vec{u_\tau} ; \vec{u_\nu}) ? Est-ce simple, comme de démontrer les relations entre \vec{u_r} et \vec{u_\theta} après dérivation ? S'il existe une relation "simple", dis le moi, je chercherai ! ;)
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Il n'y a pas de relation simple entre la base (\vec{u_r} ; \vec{u_\theta}) et la base (\vec{u_\tau} ; \vec{u_\nu}) sauf dans des cas simples comme par exemple une trajectoire circulaire. Ces bases locales sont de nature différentes. L'une est liée à la position le long de la trajectoire et l'autre àu parcours le long de cette trajectoire.
Ce dont il faut partir pour la suite, c'est que le vecteur \vec \tau est le vecteur tangent à la trajectoire et que par conséquent il est défini par \vec v = v \vec \tau en ce qui concerne le vecteur c'est au contraire un vecteur qui est normal à la trajectoire et donc perpendiculaiire à \tau